Toán 9 Giai toán hình liên quan đến đường tròn

[Chopper kawaii]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH . Gọi P , Q theo thứ tự là đường tròn nội tiếp 2 tam giác AHB và AHC . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài khác BC của 2 đường tròn P và Q . cắt AB,AH,AC theo thứ tứ ở M,K,N . Chứng minh rằng : a/ Tam giác HPQ và ABC đồng dạng . b/ KP // AB , KQ // AC . c/ BMNC là tứ giác nội tiếp . d/ Năm điểm A,M,P,Q,N cùng thuộc 1 đường tròn . e/ Tam giác AED vuông cân [ D,E theo thứ tự là giao điểm của PQ với AB,AC ]

 

[7 1 2 5]

a) Chứng minh được [tex]\Delta AHB\sim CHA[/tex]
2 tam giác đồng dạng thì tỉ số 2 bán kính đường tròn nội tiếp bằng tỉ số đồng dạng.
Gọi [TEX]r_1,r_2[/TEX] lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp [TEX]AHB,CHA[/TEX] [tex]\Rightarrow \frac{r_1}{r_2}=\frac{AB}{AC}[/tex]
Vẽ PF, QG vuông với BC thì [TEX]PF=r_1,QG=r_2[/TEX]
Mà ta thấy tam giác PFH, QGH vuông cân tại F,G nên [TEX]PH=\sqrt{2}PF=\sqrt{2}r_1,QH=\sqrt{2}r_2[/TEX]
Từ đó [tex]\frac{PH}{QH}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{AB}{AC}[/tex]
Lại có: [tex]\widehat{PHQ}=\frac{1}{2}(\widehat{BHA}+\widehat{AHC})=90^o\Rightarrow \Delta PHQ\sim \Delta BAC(c.g.c)[/tex]
b) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} \widehat{PKH}=\frac{1}{2}\widehat{MKH}\\ \widehat{QKH}=\frac{1}{2}\widehat{MKN} \end{matrix}\right.\Rightarrow \widehat{PKQ}=\frac{1}{2}(\widehat{MKH}+\widehat{MKN})=90^o\Rightarrow \widehat{PKQ}=\widehat{PHQ}=90^o[/tex]. Từ đó PKQH nội tiếp
[tex]\Rightarrow \widehat{PKH}=\widehat{PQH}[/tex]
Mà [tex]\Delta PHQ\sim \Delta BAC\Rightarrow \widehat{PQH}=\widehat{ACB}=\widehat{HAB}\Rightarrow \widehat{PKH}=\widehat{BAH}\Rightarrow PK//AB[/tex]
Tương tự thì PQ // AC.
c) Ta có: [tex]PK//AB\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \widehat{PKH}=\widehat{BAH}\\ \widehat{PKM}=\widehat{AMK} \end{matrix}\right.\Rightarrow \widehat{AMK}=\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\Rightarrow BMNC[/tex] nội tiếp
d) Ta có: [tex]\widehat{PMK}+\widehat{KPM}+\widehat{MKP}=\widehat{KMP}+\widehat{BMP}+\widehat{AMK}=180^o[/tex]
Mà [TEX]\widehat{AMK}=\widehat{MKP}[/TEX] [TEX]\Rightarrow \widehat{KPM}=\widehat{BMP}=\widehat{KMP} \Rightarrow KP=KM[/TEX]. Tương tự thì [TEX]KQ=KN[/TEX]
Mà [TEX]\widehat{KMA}=\widehat{KAM} \Rightarrow KM=KA[/TEX]
Tương tự thì [TEX]KN=KA \Rightarrow KA=KM=KN=KQ=KP \Rightarrow [/TEX] A,M,N,Q,P thuộc đường tròn tâm K.
e) Ta có: [TEX]\widehat{HPQ}=\widehat{HBD} \Rightarrow BDPH[/TEX] nội tiếp [TEX]\Rightarrow \widehat{ADP}=\widehat{DHP}=45^o \Rightarrow [/TEX] ADE vuông cân