Toán Giải toán đại số khó cần gấp

[trunghieule2807]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện:
[tex]x+y=1[/tex]
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex]A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Ta có: $A = \dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{2xy} + \dfrac{2}{4xy}$
Áp dụng BĐT: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq \dfrac{4}{a+b}$ hay $4ab\leq (a+b)^2$ ta có:
$\dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{2xy} \geq \dfrac{4}{x^2 + y^2 + 2xy}= \dfrac{4}{(x + y)^2} = 4(1)$ (Vì $x + y = 1$)
Lại có: $4xy \leq (x + y)^2$ => $\dfrac{1}{4xy}\geq \dfrac{1}{(x + y)^2}$
=> $\dfrac{2}{4xy} \geq \dfrac{2}{(x + y)^2}= 2(2)$ (Vì $x + y = 1$)
Từ (1) và (2) => $A =\dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{2xy} + \dfrac{2}{4xy}\geq 4 + 2 = 6$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$
Vậy....