Gỉai toán bằng pp quy nạp (dãy số)

[lolem1111]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) [TEX]1^2 -2^2 + 3^2-4^2+...+(-1)^{n-1}. n^2 = (-1)^{n-1}. \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]

2) [TEX]\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4.3^n}[/TEX]

 

[xuanquynh97]

Quy nạp thì cứ làm kiểu như ráp công thức vô thôi

Bài 1:

Với n=1 ta có

$1^2=(-1)^0.\dfrac{1.2}{2}$ (T/m)

Giả sử với n=k đẳng thức đã cho đúng

Khi đó ta có :

$1^2-2^2+...+(-1)^{k-1}.k^2=(-1)^{k-1}.\dfrac{k(k+1)}{2}$

Với $n=k+1$ đẳng thức cần chứng minh là

$1^2-2^2+...+(-1)^{k-1}.k^2+(-1)^{k}.(k+1)^2=(-1)^k.\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$

\Leftrightarrow $(-1)^{k-1}.\dfrac{k(k+1)}{2}+(-1)^{k}.(k+1)^2+(-1)^k.\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$

\Leftrightarrown $-(-1)^k.\dfrac{k(k+1)}{2}=(-1)^k.[(k+1)(\dfrac{k+2}{2}-k-1)]$

\Leftrightarrow $-(-1)^k.\dfrac{k(k+1)}{2}=(-1)^k.(\dfrac{(k+1)(-k)}{2})$

\Leftrightarrow $-(-1)^k.\dfrac{k(k+1)}{2}=-(-1)^k.\dfrac{k(k+1)}{2}$ (Đúng với n=k+1)

Do đó suy ra điều phải chứng minh

 

[dien0709]

1)

2) [TEX]\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4.3^n}[/TEX]

Cần CM:[TEX]\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}+\frac{n+1}{3^{n+1}}=\frac{3}{4}-\frac{2(n+1)+3}{4.3^{n+1}}[/TEX] Ta có

[TEX](\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n})+\frac{n+1}{3^{n+1}}=(\frac{3}{4}-\frac{2(n)+3}{4.3^{n}})+\frac{n+1}{3^{n+1}}[/TEX]

[TEX]=\frac{3}{4}+\frac{4(n+1)-3(2n+3)}{4.3^{n+1}}=\frac{3}{4}+\frac{-2n-5}{4.3^{n+1}}=\frac{3}{4}-\frac{2(n+1)+3}{4.3^{n+1}}[/TEX] đpcm