giúp e với ạ, giải bằng nguyên lý quy nạp
lilnuuuBạn có thể chú ý đến 2 phép toán khá đẹp này:
[imath]\dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{6^2}[/imath] (tách 1 phân số có mẫu chẵn thành 3 phân số khác - tăng 2)
và [imath]\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{(2n)^2} +\dfrac{1}{(2n)^2} +\dfrac{1}{(2n)^2}+\dfrac{1}{(2n)^2}[/imath] (tách 1 phân số bất kì thành 4 phân số khác - tăng 3)
Từ công thức 1 ta suy ra được: [imath]\dfrac{1}{(2n)^2} = \dfrac{1}{(3n)^2} + \dfrac{1}{(3n)^2} + \dfrac{1}{(6n)^2} (1)[/imath]
Ta sẽ quy nạp theo n chẵn và n lẻ với [imath]n\geq 4[/imath] luôn (kèm thêm trong các số [imath]x_1 , x_2, \cdots, x_n[/imath] luôn có 1 số chẵn)
TH1: [imath]n[/imath] chẵn. Xét [imath]n=4[/imath], ta có: [imath]1 = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^2} +\dfrac{1}{2^2} +\dfrac{1}{2^2}[/imath]
Giả sử bài toán đúng với [imath]n=2k[/imath].
Do luôn có 1 số chẵn trong [imath]x_1,x_2, \cdots x_n[/imath], ta tách theo công thức [imath](1)[/imath], sẽ tăng được thêm 2 số thỏa mãn điều kiện ban đầu, và luôn kèm thêm ít nhất 1 số chẵn.
TH2: [imath]n[/imath] lẻ, ta xét từ [imath]n=7[/imath] thoi ^^.
Ta có: [imath]1 = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^2} +\dfrac{1}{2^2} +\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^2}[/imath]
Giả sử bài toán đúng với [imath]n=2k+1[/imath].
Do vẫn luôn có 1 số chẵn [imath]x_1,x_2, \cdots x_n[/imath], ta tách theo công thức [imath](1)[/imath], sẽ tăng được thêm 2 số thỏa mãn điều kiện ban đầu, và luôn kèm thêm ít nhất 1 số chẵn.
Vậy bài toán được chứng minh.
Ngoài ra mời bạn tham khảo thêm tại: [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
