M
mitd
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
[TEX]TQ: Có m cái kẹo khác nhau chia cho n em kute, hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho mỗi em nhận được ít nhất một cái kẹo? (m>=n)
Hàm sinh: cho dãy số {a_0};{a_1};..;{a_n} hàm số xác định bởi công thức
A\left( x \right) = {a_0}\frac{{{x^0}}}{{0!}} + {a_0}\frac{{{x^1}}}{{1!}} + {a_2}\frac{{{x^2}}}{{2!}} + .. + {a_n}\frac{{{x^n}}}{{n!}} được gọi là hàm sinh dạng mũ của dãy số (an)
Gọi x1;..xn là số kẹo mà các bé kute lấy được ta có số cách là
\sum {C_m^{{x_1}}C_{m - {x_1}}^{{x_2}}..C_{m - {x_1} - {x_2} - .. - {x_{n - 1}}}^{{x_n}}} = m!\left( {\sum {\frac{1}{{{x_1}!{x_2}!..{x_n}!}}} } \right)
trong đó \left\{ {{x_1};{x_2};..;{x_n}} \right\} là tất cả các nghiệm nguyên dương của pt {{x_1} + {x_2} + .. + {x_n} = m}
Do đó hàm sinh của bài toán là
A\left( x \right) = {\left( {x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + } \right)^n}
ta cần tìm {a_m}
Sử dụng khai triển taylor ta có
\begin{array}{l}{e^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \\ \Rightarrow A\left( x \right) = {\left( {{e^x} - 1} \right)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{{\left( {{e^x}} \right)}^{n - i}}{{\left( { - 1} \right)}^i}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {n - i} \right)}^k}}}{{k!}}{x^k}} {{\left( { - 1} \right)}^i}} \\= \sum\limits_{k = 0}^\infty {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} } {\left( {n - i} \right)^k}{\left( { - 1} \right)^i}\frac{{{x^k}}}{{k!}}\end{array}
Do đó {a_{m,n}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{{\left( {n - i} \right)}^m}{{\left( { - 1} \right)}^i}}
thay m=100, n=47 vào công thức trên ta có đáp số là
{a_{100,47}} = \sum\limits_{i = 0}^{47} {C_{47}^i{{\left( {47 - i} \right)}^{100}}{{\left( { - 1} \right)}^i}}[/TEX]