a) Cho x,y thuộc Q. Giải PT sau:
$ \sqrt{2\sqrt{3} - 3} = \sqrt{3x\sqrt{3}} - \sqrt{y\sqrt{3}} $
$\sqrt{2\sqrt{3} - 3} = \sqrt{3x\sqrt{3}} - \sqrt{y\sqrt{3}}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{3}-3=3x\sqrt{3}+y\sqrt{3}-6\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}(3x+y-2)+3=6\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow 3(3x+y-2)^{2}+6\sqrt{3}(3x+y-2)+9=36xy(1)$
TH1: [tex]3x+y-2\neq 0\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{36xy-9-3(3x+y-2)^{2}}{6}(2)[/tex]
Vì [tex]x;y\in \mathbb{Q}\Rightarrow \frac{36xy-9-3(3x+y-2)^{2}}{6} \in \mathbb{Q}[/tex]
Mà [tex]\sqrt{3}\in \mathbb{I}[/tex]
Suy ra (2) vô lý
TH2: [tex]3x+y-2=0[/tex]
Khi đó: [tex](1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+y=2\\ xy=\frac{1}{4} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{6}\\y=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
Thử lại: Chỉ có $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ thỏa mãn
Vậy...
b) Cho x,y,z thuộc N. Giải PT sau :
$ \sqrt{x + 2\sqrt{3}} = \sqrt{y} + \sqrt{z} $
[tex]\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}[/tex]
$\Leftrightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}$
$\Leftrightarrow (x-y-z)+2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}$
$\Leftrightarrow (x-y-z)^{2}+4\sqrt{3}(x-y-z)+12=4yz(1)$
TH1: [tex]x-y-z\neq 0\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{4yz-(x-y-z)^{2}-12}{4(x-y-z)}(2)[/tex]
Vì [tex]x;y;z\in \mathbb{N}\Rightarrow \frac{4yz-(x-y-z)^{2}-12}{4(x-y-z)}\in \mathbb{Q}[/tex]
Mà [tex]\sqrt{3}\in \mathbb{I}[/tex]
Suy ra (2) vô lý
TH2: $x-y-z=0$
Khi đó: [tex](1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+z\\2\sqrt{yz} =2\sqrt{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+z\\ yz=3 \end{matrix}\right.[/tex]
Vì [tex]x;y;z\in \mathbb{N}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=3\\z=1 \\x=4 \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} y=1\\z=3 \\x=4 \end{matrix}\right.[/tex]
Thử lại: cả 2 đều thỏa mãn
Vậy....
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
