ĐKXĐ: $x^2 - 2x - 1 \geq 0; x \neq -1$
Ta có:
$x^2-2x-1=\sqrt{(x^2+1)(x+1)} \,\, (A)$
$\implies x^2 + 1 - 2(x + 1)=\sqrt{(x^2+1)(x+1)}$
Đặt $a = x^2 + 1, b = x + 1 \implies a = b^2 - 2b +2 \,\, (1)$
Phương trình $(A)$ tương đương:
$a - 2b=\sqrt{ab}$
$\implies a^2 - 4ab + 4b^2= ab$
$\implies a^2 - 5ab + 4b^2= 0 \,\, (B)$
Coi phương trình $(B)$ là phương trình ẩn $a$ với tham số $b$
Để $(B)$ có nghiệm $\implies \Delta \geq 0$
$\implies (-5b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4b^2 \geq 0 \implies 9b^2 \geq 0$ luôn đúng với mọi $b$
Nếu $\Delta = 0 \implies b = 0$
Khi đó:
$+)$ Theo phương trình $(B): a = \frac{5b}{2} = 0$
$+)$ Theo $(1): a = b^2 - 2b +2 = 2$
$\implies$ Mâu thuẫn, loại
Nếu $\Delta > 0 \implies a = \frac{5b + 3b}{2} = 4b$ hoặc $a = \frac{5b - 3b}{2} = b$
TH1: $a = 4b$
Thay vào $(1)$ ta được:
$(1) \implies 4b = b^2 - 2b +2 \implies b^2 - 6b +2 = 0$
Giải ra ta được: $b = 3 \pm \sqrt{7}$
$\implies x = 2 \pm \sqrt{7}$
TH2: $a = b$
Thay vào $(1)$ ta được:
$(1) \implies b = b^2 - 2b +2 \implies b^2 - 3b +2 = 0$
Giải ra ta được: $b = 1, b = 2$
$\implies x = 0, x = 1$ (loại)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
