Tìm nghiệm nguyên của phương trình [tex]9x^2+6x=y^3[/tex]
Mọi người giúp em bài này với ạ. em cảm ơn
Phương trình tương đương với: [TEX](3x+1)^2=(y+1)(y^2-y+1)(*)[/TEX].
Trước hết ta thấy vế trái của [TEX](*)[/TEX] khác 0 vì [TEX]3x+1[/TEX] không chia hết cho 3 nên [TEX]y+1\neq 0 <=> y\neq -1[/TEX]. Ta thấy [tex]y^2-y+1=(y-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0\Rightarrow y^2-y+1\neq 0[/tex].
Đặt [TEX]d=(y+1,y^2-y+1)[/TEX] thì [tex]y+1\vdots d,y^2-y+1\vdots d\Rightarrow (y^2-y+1)-(y+1)(y-2)\vdots d\Rightarrow 3\vdots d\Rightarrow d\in \left \{ 1;3\left. \right \} \right.[/tex].
Nếu [TEX]d=3[/TEX] thì [TEX]y+1\vdots 3,y^2-y+1\vdots 3[/TEX] nên [TEX](3x+1)^2\vdots 3[/TEX] (vô lý).
Do đó [TEX]d=1[/TEX] nên [TEX]y+1[/TEX] và [TEX]y^2-y+1[/TEX] nguyên tố cùng nhau, mà tích của chúng là 1 số chính phương khác 0 nên [TEX]y+1[/TEX] và [TEX]y^2-y+1[/TEX] là số chính phương.
Đặt [tex]y^2-y+1=a^2 (a\in \mathbb{Z}^{+})\Leftrightarrow 4y^2-4y+4=4a^2\Leftrightarrow (2y-1)^2+3=(2a)^2\Leftrightarrow (2a-2y+1)(2a+2y-1)=3[/tex].
Sau đó tự lập bảng ra để xét các trường hợp có thể, từ đó hãy tìm [TEX]y[/TEX] và thay vào đề bài để tìm [TEX]x[/TEX].
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
