Toán 9 Giải phương trình

[FaTa võ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}[/tex]+[tex]\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}[/tex]+[tex]\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex]......................

 

[Ann Lee]

[tex]\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}[/tex]+[tex]\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}[/tex]+[tex]\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex]......................

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

• [tex]\sqrt{x-2009}-1=\frac{2\sqrt{4(x-2009)}}{4}-1\leq \frac{4+x-2009}{4}-1=\frac{x-2009}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}\leq \frac{\frac{x-2009}{4}}{x-2009}=\frac{1}{4}[/tex]
• [tex]\sqrt{y-2010}-1=\frac{2\sqrt{4(y-2010)}}{4}-1\leq \frac{4+y-2010}{4}-1=\frac{y-2010}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}\leq \frac{\frac{y-2010}{4}}{y-2010}=\frac{1}{4}[/tex]
• [tex]\sqrt{z-2011}-1=\frac{2\sqrt{4(z-2011)}}{4}-1\leq \frac{4+z-2011}{4}-1=\frac{z-2011}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}\leq \frac{\frac{z-2011}{4}}{z-2011}=\frac{1}{4}[/tex]

Suy ra [tex]\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}\leq \frac{3}{4}[/tex]
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2013\\y=2014 \\ z=2015 \end{matrix}\right.[/tex]

 

[tieutukeke]

Xét hàm số f(t)= (t-1)/t^2 (t>=0)
Giả sử f(t) có giá trị a
=> (t-1)/t^2=a
<=> t-1=at^2
=>at^2-t+1=0
Để pt có nghiệm không âm => delta = 1-4a>=0
=>a <=1/4
a.1>=0 -> a>=0
Kết hợ 2 điều kiện => 0=<a<=1/4
=>max f(t) = 1/4
Vậy pt đã cho có nghiệm khi:
căn(x-2009) -1 /x-2009 = căn (y - 2010) -1/y-2000 = ... = 1/4
=> x=..., y=..., z=...

 

[FaTa võ]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

• [tex]\sqrt{x-2009}-1=\frac{2\sqrt{4(x-2009)}}{4}-1\leq \frac{4+x-2009}{4}-1=\frac{x-2009}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}\leq \frac{\frac{x-2009}{4}}{x-2009}=\frac{1}{4}[/tex]
• [tex]\sqrt{y-2010}-1=\frac{2\sqrt{4(y-2010)}}{4}-1\leq \frac{4+y-2010}{4}-1=\frac{y-2010}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}\leq \frac{\frac{y-2010}{4}}{y-2010}=\frac{1}{4}[/tex]
• [tex]\sqrt{z-2011}-1=\frac{2\sqrt{4(z-2011)}}{4}-1\leq \frac{4+z-2011}{4}-1=\frac{z-2011}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}\leq \frac{\frac{z-2011}{4}}{z-2011}=\frac{1}{4}[/tex]

Suy ra [tex]\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}\leq \frac{3}{4}[/tex]
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2013\\y=2014 \\ z=2015 \end{matrix}\right.[/tex]

BĐT AM-GM LÀ GÌ VẬY BẠN ?
__________________________________________________________
#Ann Lee: "Google thẳng tiến" nhanh hơn việc hỏi lại mình đó bạn
AM-GM là viết tắt của từ Arithmetic and geometric means, nghĩa là trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức AM-GM được phát biểu như sau:
Với n số thực không âm ( n>1) ta luôn có:
[tex]\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}=...=a_{n}[/tex]
Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy. Vì vậy, nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Tên gọi BĐT Cô-si được sử dụng trong hầu hết các tài liệu của VN, vì vậy chúng ta vẫn quen gọi nó là BĐT Cô-si. Tên gọi bđt AM-GM là tên gọi chuẩn được quốc tế sử dụng.