giải phương trình
3x/(x^2+2x+5) + 5x/(x^2+3x+5) =1
$\dfrac {3x}{x^{2}+2x+5}+\dfrac {5x}{x^{2}+3x+5}=1$ $(1)$
Ta thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình $(1)$
Với $x\neq 0$, $\left( 1\right) \Leftrightarrow \dfrac {3}{x+2+\dfrac {5}{x}}+\dfrac {5}{x+3+\dfrac {5}{x}}=1$
Đặt $x+\dfrac {5}{x}=y$, khi đó $(1)$ trở thành $\dfrac {3}{y+2}+\dfrac {5}{y+3}=1$ $(2)$ (ĐKXĐ $\{ ^{y\neq -3}_{y\neq -2}$)
$\left( 2\right) \Leftrightarrow \dfrac {3\left( y+3\right) +5\left( y+2\right) }{\left( y+2\right) \left( y+3\right) }=1 \Leftrightarrow 3y+9+5y+10=\left( y+2\right) \left( y+3\right) \Leftrightarrow 8y+19=y^{2}+5y+6 $
$\Leftrightarrow y^{2}-3y-13=0 \Leftrightarrow 4y^{2}-12y-52=0 \Leftrightarrow \left( 2y-3\right) ^{2}=61\Leftrightarrow [^{2y-3=\sqrt {61}}_{2y-3=-\sqrt {61}}\Leftrightarrow [^{y=\dfrac {3+\sqrt {61}}{2}}_{y=\dfrac {3-\sqrt {61}}{2}}$ (thoả ĐKXĐ)
Khi đó, ta có $TH1:$ $x+\dfrac {5}{x}=\dfrac {3+\sqrt {61}}{2}$ $(*)$
$\Leftrightarrow 2x^{2}+10=x\left( 3+\sqrt {61}\right) \Leftrightarrow 2x^{2}-(3+\sqrt {61})x+10=0$ $\left( a_{1}=2,b_{1}=-\left( 3+\sqrt {61}\right) ,c_{1}=10\right) $
$(*)$ là phương trình bậc hai có $\Delta _{1}=b^{2}_{1}-4a_{1}c_{1}=\left[ -\left( 3+\sqrt {61}\right) \right] ^{2}-4\left( 2\right) \left( 10\right) =9+61+6\sqrt {61}-80=6\sqrt {61}-10$
Do $\Delta _{1} > 0$ nên $(*)$ có hai nghiệm phân biệt :
$\{ ^{x_{1}=\dfrac {-b_{1}+\sqrt {\Delta }_{1}}{2a_{1}}=\dfrac {-\left[ -\left( 3+\sqrt {61}\right) \right] +\sqrt {6\sqrt {61}-10}}{2.2}=\dfrac {3+\sqrt {61}+\sqrt {6\sqrt {61}-10}}{4}}_{x_{2}=\dfrac {-b_{1}-\sqrt {\Delta }_{1}}{2a_{1}}=\dfrac {-\left[ -\left( 3+\sqrt {61}\right) \right] -\sqrt {6\sqrt {61}-10}}{2.2}=\dfrac {3+\sqrt {61}-\sqrt {6\sqrt {61}-10}}{4}}$
$TH2:$ $x+\dfrac {5}{x}=\dfrac {3-\sqrt {61}}{2}$ $(**)$
$\Leftrightarrow 2x^{2}+10=x\left( 3-\sqrt {61}\right) \Leftrightarrow 2x^{2}-(3-\sqrt {61})x+10=0$ $\left( a_{2}=2,b_{2}=-\left( 3-\sqrt {61}\right) ,c_{2}=10\right) $
$(*)$ là phương trình bậc hai có $\Delta _{2}=b^{2}_{2}-4a_{2}c_{2}=\left[ -\left( 3-\sqrt {61}\right) \right] ^{2}-4\left( 2\right) \left( 10\right) =9+61-6\sqrt {61}-80=-6\sqrt {61}-10$
Do $\Delta _{2} < 0$ nên $(**)$ vô nghiệm
Vậy phương trình $(1)$ có tập nghiệm $S=\left\{ \dfrac {3+\sqrt {61}+\sqrt {6\sqrt {61}-10}}{4};\dfrac {3+\sqrt {61}-\sqrt {6\sqrt {61}-10}}{4}\right\} $
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
