Giải phương trình .

N

nguyenminh44

Bài này thì không cần đến định lý Rol đâu. Chỉ cần Lagrang là được.
Giả sử [tex]x_0[/tex] là nghiệm thì

[tex]4^{x_0}-3^{x_0}=5^{x_0}-4^{x_0}[/tex] (1)
Xét hàm [tex]f(t) =t^{x_0}[/tex] trên [tex](1;+\infty)[/tex]

Ta có [tex]f'(t)=x_0 t^{x_0-1} [/tex]

Theo định lý Largrang tồn tại một số [tex]c_1 \in(4;5)[/tex] thỏa [tex]f'(c_1)=\frac{f(5)-f(4)}{5-4}=5^{x_0}-4^{x_0}[/tex]

Tương tự như vậy, tồn tại [tex]c_2 \in (3;4)[/tex] thỏa [tex]f'(c_2)=4^{x_0}-3^{x_0}[/tex]

Theo (1) ta có [tex]f'(c_1)=f'(c_2)[/tex]

Hay [tex]x_0 c_1^{x_0-1}=x_0 c_2^{x_0-1}[/tex]

Do điều kiện của [tex]c_1[/tex] và[tex]c_2[/tex] suy ra [tex]x_0=0[/tex] hoặc [tex]x_0=1[/tex]
 
N

nguoibatdau

______ said:
[tex] 3^x+5^x=2.4^x[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
cậu chia cả hai vế cho [tex]4^x[/tex]
rồi xét đạo hàm của hàm số 2 lần
cậu sẽ thấy f''(x)>0 nên f'(x) có tối đa là 1 nghiệm nên f(x) có tối đa là 2 nghiệm
mà 0,1 là nghiệm nên phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm
 
S

sachcuatoi

nói chung cách nào cũng được nhưng roll thì phải chứng minh lại còn lagrang là giải pháp tối ưu hơn nhiều trong bài toán này
 
H

haiquan92

Định lí largrang là gì vậy mình hok hiểu gì hết................................
 
P

potter.2008

nguoibatdau said:
cậu chia cả hai vế cho [tex]4^x[/tex]
rồi xét đạo hàm của hàm số 2 lần
cậu sẽ thấy f''(x)>0 nên f'(x) có tối đa là 1 nghiệm nên f(x) có tối đa là 2 nghiệm
mà 0,1 là nghiệm nên phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

tớ cũng chia nhưng sau thì đó thì xét tính đồng biến và nghịch biến của vt sau đó suy ra nghiệm của pt
 
H

huchao765

:) Tui cũng chỉ nghĩ dc cách tối ưu như Harry :cool:
Chứ xét lagrang ít phổ biến + dài
Xét DB, NB chắc là cách hay nhất cho hầu hết các bài toán logarit
Ai dồng ý giơ tay
 
D

daihoacuc

Làm thử nhé!

Chứng mình rằng phương trình sau có không quá 2 nghiệm khi a>4

[TEX]a^x +2 ^x =3^x +4^x[/TEX]
 
N

nguyenminh44

daihoacuc said:
Làm thử nhé!

Chứng mình rằng phương trình sau có không quá 2 nghiệm khi a>4

[TEX]a^x +2 ^x =3^x +4^x[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\Leftrightarrow f(x)=(\frac{a}{2})^x -(\frac{3}{2})^x -2^x +1 =0[/TEX]

[TEX]f'(x) =(\frac{a}{2})^x ln{\frac{a}{2}}-(\frac{3}{2})^x ln{\frac{3}{2}}-2^x ln2[/TEX]

[TEX]f'(x)=0 \Leftrightarrow ln{\frac{a}{2}}-(\frac{3}{a})^x ln{\frac{3}{2}}-(\frac{4}{a})^x ln2=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ln{\frac{a}{2}}=(\frac{3}{a})^x ln{\frac{3}{2}}+(\frac{4}{a})^x ln2[/TEX]

Vế trái là hàm hằng, vế phải là hàm nghịch biến do a>4 nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm => f(x)=0 có nhiều nhất 2 nghiệm
.....................................................................
Giải bpt

[TEX]log_{|x|}cos1> log_y cos1[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom