Bài này chỉ dài chứ không khó. 2 ẩn 1 pt là ta nghĩ ngay tới việc đánh giá qua BĐT:
SOLUTION:
$ĐKXĐ: 1\le x\le 4; -y^2+2y+2\ge 0$
-Pt đã cho tương đương với:
$$\sqrt{-y^2+2y+2}=\sqrt{-x^2+5x+14}-\sqrt{-x^2+3x+4}\ (*)$$
Dễ thấy $VT(*)=\sqrt{-y^2+2y+2}=\sqrt{3-(y-1)^2}\le \sqrt{3}$. Dấu bằng xảy ra khi $y=1$
*Bây giờ ta phải chứng minh:
$$\sqrt{-x^2+5x+14}-\sqrt{-x^2+3x+4}\ge \sqrt{3}\ (1)$$
-Trước hết ta chứng minh được $\sqrt{-x^2+5x+14}-\sqrt{-x^2+3x+4}>0$ trên khoảng đang xét $1\le x\le 4$ (bạn tự c/m). Vậy nên:
$$(1)\Leftrightarrow -2x^2+8x+18-2\sqrt{(-x^2+5x+4)(-x^2+3x+4)}\le 3\\ \Leftrightarrow -2x^2+8x+15\ge 2\sqrt{(-x^2+5x+4)(-x^2+3x+4)}\ (2)$$
Rồi bạn cũng chứng minh $-2x^2+8x+15>0$ trên khoảng đang xét. Sau đó:
$$(2)\Leftrightarrow 4x^2-32x^3+4x^2+240x+225\ge 4x^4-32x^3-12x^2+248x+224\\ \Leftrightarrow 16x^2-8x+1\ge 0\\ \Leftrightarrow (4x-1)^2\ge 0 \text{(Đúng trong khoảng đang xét)}$$
Dấu bẳng xảy ra khi $x=\frac{1}{4}$
*Kết hợp 2 điều trên ta có: $VT(*)\le \sqrt{3}\le VP(*)\Rightarrow VT(*)=\sqrt{3}= VP(*)$. Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{1}{4};y=1$ và đây cũng là nghiệm duy nhất của pt
K/l: ...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn