Mình gợi ý nhé.
Viết lại phương trình như sau:
$$4(2x^2-11x+21)=3.4.\sqrt[3]{4x-4}$$
$\bullet x<1$ thì $VT>0,VP<0$ nên phương trình vô nghiệm.
$\bullet x$ \geq $1$
Áp dụng BDT Cosi ta có:
$3.4\sqrt[3]{4x-4}=3\sqrt[3]{(4x-4).8.8}$ \leq $4x-4+8+8=4x+12$
Dấu "=" khi $x=3$
Xét hiệu:
$4(2x^2-11x+21)-(4x+12)=8x^2-48x+72=(x-3)^2 $ \geq $0$
Dấu "=" khi $x=3$
Do đó: $4(2x^2-11x+21)$ \geq $4x+12$ nên $VT$ \geq $VP$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=3$
Điều kiện : $ x\ge 1$
Đặt $x-1=a, a>0$. Ta đưa pt thành:
$$2a^2-7a+12=3\sqrt[3]{4a}$$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$$2a^2+8 \ge 8a$$
$$ a+2+2 \ge 3\sqrt[3]{4a}$$
Cộng 2 vế BĐT trên ta được $$2a^2-7a+12\ge 3\sqrt[3]{4a}$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=2 $ hay $x=3$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : $$ x = 3 . $$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
