Toán 12 Giải phương trình và bất phương trình

[SleekSkinFish]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) [tex]\log_{7}x>\log_{3}(2+\sqrt{x})[/tex]

b) [tex]\log_{5}x=\log_{3}(4+\sqrt{x})[/tex]

c) [tex]x^3+2x-3+\ln(x^2-x+1)=0[/tex]

 

[zzh0td0gzz]

a)ĐK: x>0
[TEX]log_7x-log_3(2+\sqrt{x})>0[/TEX]

[TEX]f(x)=log_7x-log_3(2+\sqrt{x})[/TEX]

[TEX]f'(x)=\frac{1}{xln7}-\frac{1}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})ln3}[/TEX]

quy đồng lên và dễ dàng chứng minh f'(x) vô nghiệm với x>0 => f(x) luôn đồng biến với mọi x>0
GPT f(x)=0 =>x=7
=>nghiệm BPT là x>7
câu b tương tự
câu c
f'(x)>0 => PT có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm
nhẩm nghiệm thấy x=1 là nghiệm =>x=1 là nghiệm duy nhất

 

[SleekSkinFish]

a)ĐK: x>0
[TEX]log_7x-log_3(2+\sqrt{x})>0[/TEX]

[TEX]f(x)=log_7x-log_3(2+\sqrt{x})[/TEX]

[TEX]f'(x)=\frac{1}{xln7}-\frac{1}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})ln3}[/TEX]

quy đồng lên và dễ dàng chứng minh f'(x) vô nghiệm với x>0 => f(x) luôn đồng biến với mọi x>0
GPT f(x)=0 =>x=7
=>nghiệm BPT là x>7
câu b tương tự
câu c
f'(x)>0 => PT có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm
nhẩm nghiệm thấy x=1 là nghiệm =>x=1 là nghiệm duy nhất

Em chưa tính ra nhưng nghiệm của f(x)=0 trong câu a) đâu phải x=7 đâu ạ?

 

[Tiến Phùng]

Em chưa tính ra nhưng nghiệm của f(x)=0 trong câu a) đâu phải x=7 đâu ạ?

nghiệm là x=49. Bạn kia khai căn luôn nên nhầm đấy. Không nhẩm được thì dùng casio mà solve là được

 

[SleekSkinFish]

nghiệm là x=49. Bạn kia khai căn luôn nên nhầm đấy. Không nhẩm được thì dùng casio mà solve là được

Phương trình đó nhẩm như thế nào ạ? Em làm tới bước này [tex]\log_{2+\sqrt{x}}x=\log_{3}7[/tex] là bí rồi ạ

 

[Tiến Phùng]

Nhẩm chọn giá trị sao cho khai căn đẹp là được, sau 1 vài lần nhẩm là ra. Mà nếu nhẩm kém quá thì dùng casio đi

 

[lengoctutb]

a) [tex]\log_{7}x>\log_{3}(2+\sqrt{x})[/tex]

b) [tex]\log_{5}x=\log_{3}(4+\sqrt{x})[/tex]

c) [tex]x^3+2x-3+\ln(x^2-x+1)=0[/tex]

$c)$ Đặt $f(x)=x^{3}+2x-3+\ln(x^{2}-x+1)$$.$
Ta có $:$ $f'(x)=3x^{2}+2+\frac{2x-1}{x^{2}-x+1}=3x^{2}+\frac{2x^{2}+1}{x^{2}-x+1}=3x^{2}+\frac{2x^{2}+1}{(x-0,5)^{2}+0,75} > 0$$,$ $\forall x \in \mathbb{R}$$.$
Do đó $:$ $f(x)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$$.$
Khi đó $:$ Phương trình $f(x)=0$ tối đa chỉ có $1$ nghiệm$.$ Mà ta dễ dàng thấy rằng $f(1)=1^3+2.1-3+\ln(1^2-1+1)=0$$.$
Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình$.$

 

[lengoctutb]

a) [tex]\log_{7}x>\log_{3}(2+\sqrt{x})[/tex]

b) [tex]\log_{5}x=\log_{3}(4+\sqrt{x})[/tex]

c) [tex]x^3+2x-3+\ln(x^2-x+1)=0[/tex]

$TXĐ$ $:$ $D=(0;+\infty)$
$b)$ Đặt $t=\log_{5}x \Leftrightarrow x=5^{t}$
Khi đó$,$ phương trình thành $:$ $t=\log_{3}(4+\sqrt{5^{t}}) \Leftrightarrow 4+\sqrt{5}^{t}=3^{t} \Leftrightarrow 4(\frac{1}{3})^{t}+(\frac{\sqrt{5}}{3})^{t}-1=0$
Đặt $f(t)=4(\frac{1}{3})^{t}+(\frac{\sqrt{5}}{3})^{t}-1 \Rightarrow f'(t)=4\ln(\frac{1}{3}).(\frac{1}{3})^{t}+\ln(\frac{\sqrt{5}}{3}).(\frac{\sqrt{5}}{3})^{t} <0$$,$ $\forall t \in \mathbb{R}$
Do $f'(t)<0$ nên $f(t)$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Khi đó$,$ phương trình $f(t)=0$ chỉ có tối đa một nghiệm$.$ Mà dễ dàng ta thấy $:$ $f(2)=4(\frac{1}{3})^{2}+(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2}-1=0$
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là $t=2$ hay là $x=5^{2}=25$