Toán 9 Giải phương trình: [tex]x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}[/tex]

[Junery N]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải phương trình: [tex]x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}[/tex]

 

[Windeee]

Giải phương trình: [tex]x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}[/tex]

*Cách không hay lắm:
Giải:
Điều kiện : [tex]-1\leq x \leq 2[/tex]
Đặt [tex]x-1=t (-2 \leq t \leq 1)[/tex]
Khi đó phương trình trở thành:[tex] t+\sqrt{t+2}+\sqrt{1-t}=(t+1)^2+\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{t+2}+\sqrt{1-t}=(t^2+t+1)+\sqrt{2}\rightarrow (\sqrt{t+2}+\sqrt{1-t})^2=[(t^2+t+1)+\sqrt{2}]^2\Leftrightarrow 1+2\sqrt{3-(t^2+t+1)}=(t^2+t+1)^2 +2\sqrt{2}(t^2+t+1) [/tex] (1)
Tiếp tục đặt: [tex]z=t^2+t+1 ( 0<z\leq 3 )[/tex] ( do [tex] t\leq 1 [/tex] )
Khi đó phương trình (1) trở thành:
[tex]1+2\sqrt{3-z}=z^2+2\sqrt{2}z\Leftrightarrow (z^2-1)+(2\sqrt{2}z-2\sqrt{3-z})=0\Leftrightarrow (z-1)(z+1)+2[\frac{(2z+3)(z-1)}{\sqrt{2}z+\sqrt{3-z}}]=0\Leftrightarrow z-1=0\rightarrow z=1\rightarrow t=0\rightarrow x=1.[/tex]
Thử lại thấy thỏa mãn điều kiện và đề bài.
Vậy x=1.

 

[Nguyễn Linh_2006]

*Cách không hay lắm:
Giải:
Điều kiện : [tex]-1\leq x \leq 2[/tex]
Đặt [tex]x-1=t (-2 \leq t \leq 1)[/tex]
Khi đó phương trình trở thành:[tex] t+\sqrt{t+2}+\sqrt{1-t}=(t+1)^2+\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{t+2}+\sqrt{1-t}=(t^2+t+1)+\sqrt{2}\rightarrow (\sqrt{t+2}+\sqrt{1-t})^2=[(t^2+t+1)+\sqrt{2}]^2\Leftrightarrow 1+2\sqrt{3-(t^2+t+1)}=(t^2+t+1)^2 +2\sqrt{2}(t^2+t+1) [/tex] (1)
Tiếp tục đặt: [tex]z=t^2+t+1 ( 0<z\leq 3 )[/tex] ( do [tex] t\leq 1 [/tex] )
Khi đó phương trình (1) trở thành:
[tex]1+2\sqrt{3-z}=z^2+2\sqrt{2}z\Leftrightarrow (z^2-1)+(2\sqrt{2}z-2\sqrt{3-z})=0\Leftrightarrow (z-1)(z+1)+2[\frac{(2z+3)(z-1)}{\sqrt{2}z+\sqrt{3-z}}]=0\Leftrightarrow z-1=0\rightarrow z=1\rightarrow t=0\rightarrow x=1.[/tex]
Thử lại thấy thỏa mãn điều kiện và đề bài.
Vậy x=1.

Thiếu nghiệm [tex]x=0[/tex]. Hôm qua dùng phương pháp ép nghiệm nhưng thấy cái PT trj trong ngoặc lớn nên chẳng thèm làm nữa ._.

Giải phương trình: [tex]x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}[/tex]

[tex]x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-1)+(\sqrt{2-x}-\sqrt{2})-(x^2-x)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{x}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}-x(x-1)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}+1-x)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ & \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}+1-x =0 \end{bmatrix}[/tex]

• [tex]TH_1:x=0[/tex]
  
• [tex]TH_2: \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}+1-x=0[/tex]

Chắc chắn PT có nghiệm là 1 nhưng không muốn giải ra )

@kido2006 Nghĩ ra cách nào không?

 

[Windeee]

Thiếu nghiệm [tex]x=0[/tex]. Hôm qua dùng phương pháp ép nghiệm nhưng thấy cái PT trj trong ngoặc lớn nên chẳng thèm làm nữa ._.


[tex]x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-1)+(\sqrt{2-x}-\sqrt{2})-(x^2-x)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{x}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}-x(x-1)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow x(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}+1-x)=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ & \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}+1-x =0 \end{bmatrix}[/tex]

• [tex]TH_1:x=0[/tex]
  
• [tex]TH_2: \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2}}+1-x=0[/tex]

Chắc chắn PT có nghiệm là 1 nhưng không muốn giải ra )

@kido2006 Nghĩ ra cách nào không?

Bạn nói đúng.
Mình sai ở đoạn tính ẩn "t" :
Giải:
Điều kiện : [tex]-1\leq x \leq 2[/tex]
Đặt [tex]x-1=t (-2 \leq t \leq 1)[/tex]
Khi đó phương trình trở thành:[tex] t+\sqrt{t+2}+\sqrt{1-t}=(t+1)^2+\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{t+2}+\sqrt{1-t}=(t^2+t+1)+\sqrt{2}\rightarrow (\sqrt{t+2}+\sqrt{1-t})^2=[(t^2+t+1)+\sqrt{2}]^2\Leftrightarrow 1+2\sqrt{3-(t^2+t+1)}=(t^2+t+1)^2 +2\sqrt{2}(t^2+t+1) [/tex] (1)
Tiếp tục đặt: [tex]z=t^2+t+1 ( 0<z\leq 3 )[/tex] ( do [tex] t\leq 1 [/tex] )
Khi đó phương trình (1) trở thành:
[tex]1+2\sqrt{3-z}=z^2+2\sqrt{2}z\Leftrightarrow (z^2-1)+(2\sqrt{2}z-2\sqrt{3-z})=0\Leftrightarrow (z-1)(z+1)+2[\frac{(2z+3)(z-1)}{\sqrt{2}z+\sqrt{3-z}}]=0\Leftrightarrow z-1=0[/tex]
[tex]z=1[/tex] [tex]\rightarrow t^2+t=0 [/tex] nên [tex]t=0\rightarrow x=1[/tex] hoặc [tex]t=-1 \rightarrow x=0.[/tex]
Vậy x=0 hoặc x=1.

 

[kido2006]

Giải phương trình: [tex]x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^2+\sqrt{2}[/tex]

Dạng này đặt hết căn chứa ẩn tỉ lệ ra khá cao :vv
Đặt [tex]a=\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}(a\geq 0)\Rightarrow (\frac{a^2-3}{2})^2-3-\sqrt{2}=-x^2+x-1-\sqrt{2}[/tex]
Khi đó pt đã cho trở thành
[tex](\frac{a^2-3}{2})^2-3-\sqrt{2}+a=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^4-6a^2+9+4a-12-4\sqrt{2}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a-1-\sqrt{2})[a^3+a^2(1+\sqrt{2})+a(2\sqrt{2}-3)+5-\sqrt{2}]=0[/tex]
Do [tex]a^3+a^2(1+\sqrt{2})+a(2\sqrt{2}-3)+5-\sqrt{2}> 0;\forall a\geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow a=1+\sqrt{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=1+\sqrt{2}\Rightarrow 3+2\sqrt{-x^2+x+2}=3+2\sqrt{2}\Rightarrow -x^2+x=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=1 \end{bmatrix}[/tex]