Toán 10 Giải phương trình [tex]\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}=0[/tex]

[Choyz]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}=0[/tex]

@Ann Lee Help me

 

[Ann Lee]

[tex]\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}=0[/tex]

@Ann Lee Help me

Ta có: [tex]\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}=0\\\Leftrightarrow 6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{6(x^{4}+x^{2}+1)}=0\\\Leftrightarrow 6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{6(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=0\\\Leftrightarrow 4(3x^3-3x+3)-3(2x^2+2x+2)+\sqrt{(3x^2+3x+3)(2x^2-2x+2)}=0[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{3x^2-3x+3}=a(a>0);\sqrt{2x^2+2x+2}=b(b>0)[/tex]
Khi đó, pt đã cho [tex]\Leftrightarrow 4a^2-3b^2+ab=0\\\Leftrightarrow (4a-3b)(a+b)=0\\\Leftrightarrow 4a-3b=0[vì:a>0;b>0\Rightarrow a+b>0]\\\Leftrightarrow 4a=3b[/tex]
Đến đấy bạn tự giải nốt nhé ^^

 

[Choyz]

Ta có: [tex]\sqrt{6}(x^{2}-3x+1)+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}=0\\\Leftrightarrow 6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{6(x^{4}+x^{2}+1)}=0\\\Leftrightarrow 6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{6(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=0\\\Leftrightarrow 4(3x^3-3x+3)-3(2x^2+2x+2)+\sqrt{(3x^2+3x+3)(2x^2-2x+2)}=0[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{3x^2-3x+3}=a(a>0);\sqrt{2x^2+2x+2}=b(b>0)[/tex]
Khi đó, pt đã cho [tex]\Leftrightarrow 4a^2-3b^2+ab=0\\\Leftrightarrow (4a-3b)(a+b)=0\\\Leftrightarrow 4a-3b=0[vì:a>0;b>0\Rightarrow a+b>0]\\\Leftrightarrow 4a=3b[/tex]
Đến đấy bạn tự giải nốt nhé ^^

Bạn có thể chia sẻ hướng nghĩ của bạn không?

 

[Ann Lee]

Bạn có thể chia sẻ hướng nghĩ của bạn không?

Nhân thấy [tex]\sqrt{6}[/tex] đứng lẻ loi và có phần hơi khác biệt như vậy nên mình đã nghĩ đến việc nhân thêm vào cả 2 vế của PT với [tex]\sqrt{6}[/tex], do đó ta thấy PT trông có vẻ đẹp hơn rất nhiều:
[TEX]6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{6(x^{4}+x^{2}+1)}=0[/TEX]
Khi nhìn đến biểu thức [tex]x^4+x^2+1[/tex] dưới căn mình đã nghĩ đến việc phân tích nó thành [TEX](x^2-x+1)(x^2+x+1)[/TEX]:
[TEX]6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{6(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=0[/TEX]
=> Suy nghĩ đến việc đặt ẩn đưa về phương trình bậc 2 với 2 ẩn
Vì mình có niềm tin sắt đá là biểu thức [tex]6(x^{2}-3x+1)[/tex] có thể viết được dưới dạng [tex]\alpha (x^2-x+1)+\beta (x^2+x+1)[/tex] với [tex]\alpha ;\beta[/tex] nguyên (cái này chỉ là dựa theo kinh nghiệm làm bài và cảm xúc nhất thời thôi :v không có cơ sở vững chắc nào đâu )
~~~
Đến đây thì là cả một quá trình dài để tìm được hệ số [tex]\alpha ;\beta[/tex] thích hợp -_-
Trước hết là xử lí phần căn thức [TEX]\sqrt{6(x^2-x+1)(x^2+x+1)}[/TEX]
Vì thấy các hệ số đi liền với biến [TEX]x[/TEX] đều là hệ số nguyên dương nên mình
tách [tex]\sqrt{6(x^2-x+1)(x^2+x+1)}=\sqrt{(6x^2-6x+6)(x^2+x+1)}=\sqrt{(x^2-x+1)(6x^2+6x+6)}=\sqrt{(2x^2-2x+2)(3x^2+3x+3)}=\sqrt{(3x^2-3x+3)(2x^2+2x+2)}[/tex]
(chỉ có thể chọn các hệ số nguyên vì có như vậy mới đưa được căn thức ban đầu thành tích của 2 căn thức)
Rồi xét từng trường hợp mà làm thôi :< (dài dã man)

+)Xét TH1: [TEX]6(x^{2}-3x+1)+\sqrt{(6x^2-6x+6)(x^2+x+1)}=0[/TEX]
Khi đó cần tìm [tex]\alpha ;\beta[/tex] sao cho [tex]\alpha .6.(x^2-x+1)+\beta (x^2+x+1)=6(x^2-3x+1)[/tex]
Đến đây thì dùng đồng nhất hệ số để tìm ra [tex]\alpha ;\beta[/tex]

Cứ làm lần lượt với các TH (có 4 trường hợp) đến khi nào tìm ra [tex]\alpha ;\beta[/tex] nguyên thì thôi.

P/s: Có thể bạn sẽ thấy hơi mâu thuẫn vì lúc trên mình cho rằng có thể tách [tex]6(x^{2}-3x+1)[/tex] thành [tex]\alpha (x^2-x+1)+\beta (x^2+x+1)[/tex] với [tex]\alpha ;\beta[/tex] nguyên nhưng đến phần dưới lại là tìm [tex]\alpha ;\beta[/tex] sao cho [tex]\alpha .6.(x^2-x+1)+\beta (x^2+x+1)=6(x^2-3x+1)[/tex].
Thực sự thì mình thấy hơi khó khăn để giải thích một chút và cũng không biết nên diễn đạt kiểu gì nữa.
Nói chung có thể đi đến kết luận là cần phải tìm hệ số [tex]\alpha ;\beta[/tex] thích hợp để đặt ẩn phụ.