Điều kiện: $|x| \le \sqrt{\frac{7}{2}}.$ Ta có phương trình đã cho tương đương với \[7x - 8 = {\left( {x - \sqrt {\frac{{7 - 2{x^2}}}{6}} } \right)^3}.\] Mặt khác, khai triển trực tiếp, ta thấy \[\begin{aligned}
{\left( {x - \sqrt {\frac{{7 - 2{x^2}}}{6}} } \right)^3} &= {x^3} - 3{x^2}\sqrt {\frac{{7 - 2{x^2}}}{6}} + 3x\left( {\frac{{7 - 2{x^2}}}{6}} \right) - \left( {\frac{{7 - 2{x^2}}}{6}} \right)\sqrt {\frac{{7 - 2{x^2}}}{6}} \\
& = \frac{{7x}}{2} - \left( {\frac{{16{x^2} + 7}}{6}} \right)\sqrt {\frac{{7 - 2{x^2}}}{6}} .
\end{aligned}\] Do đó, phương trình trên có thể được viết lại thành $$3(16-7x)=(16x^2+7) \sqrt{\frac{7-2x^2}{6}},$$ tương đương $$3(16-7x) -(16x^2+7)(2-x)+(16x^2+7)\left( 2-x-\sqrt{\frac{7-2x^2}{6}}\right) =0.$$ Đến đây, ta lại thấy $$3(16-7x)-(16x^2+7)(2-x)=2(x+1)(8x^2-24x+17)$$ và $$ 2-x-\sqrt{\frac{7-2x^2}{6}}=\frac{8x^2-24x+17}{6(2-x)+\sqrt{6(7-2x^2)}},$$ nên phương trình cuối tương đương với $$(8x^2-24x+17)\left[ 2(x+1) +\frac{16x^2+7}{6(2-x)+\sqrt{6(7-2x^2)}}\right] =0.$$ Sử dụng bất đẳng thức $2ab \ge -(a^2+b^2),\, \forall a,\,b \in \mathbb R,$ ta có $$\begin{aligned} 16x^2+7+2(x+1)\left[6(2-x)+\sqrt{6(7-2x^2)}\right] &=4x^2+12x+31+2(x+1)\sqrt{6(7-2x^2)} \\ & \ge 4x^2+12x+31 -6(x+1)^2-(7-2x^2) =18>0. \end{aligned}$$
Vì vậy mà đại lượng ở trong dấu ngoặc vuông không thể bằng $0$ được, và như thế phương trình đã cho tương đương với $$8x^2-24x+17=0.$$ Đến đây dễ rồi.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn