Toán 8 Giải phương trình nghiệm nguyên

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nghiệm nguyên dương thỏa mãn phương trình [TEX]2^x+1=3^y[/TEX]

 

[Darkness Evolution]

Nếu x=1 thì y=1
Nếu [tex]x\geq 2 [/tex] thì [TEX]2^{x}\vdots 4[/TEX]
[tex]\Rightarrow 3^{y}\equiv 1 \pmod 4[/tex]
[tex]\Rightarrow y \vdots 2[/tex] Đặt [tex]y=2k(k \in \mathbb{N})[/tex]
[tex]\Rightarrow 2^{x}=3^{2k}-1=\left ( 3^{k}+1 \right )\left ( 3^{k}-1 \right )[/tex]
Cả [tex]3^{k}+1[/tex] và [tex]3^{k}-1[/tex] đều chẵn[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{k}-1=2^{a}\\ 3^{k}+1=2^{b} \end{matrix}\right.(a+b=x;0<a<b) [/tex]
Lại có [tex](3^{k}+1)-\left ( 3^{k}-1 \right )\vdots \Big((3^{k}+1),(3^{k}-1) \Big)\Leftrightarrow 2\vdots 2^{a}[/tex]
[tex]\Rightarrow a\leq 1[/tex]
Do đó, [tex]a=1\Rightarrow 3^{k}=2^{1}+1=3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow k=1\Leftrightarrow y=2[/tex]
[tex]\Rightarrow 2^{x}=3^{2}-1=8\Leftrightarrow x=3[/tex]
Vậy phương trình có nghiệm nguyên [tex](x;y)\in \left\{(1;1),(3;2)\right\}[/tex]

 

[Darkness Evolution]

Nếu x=1 thì y=1
Nếu [tex]x\geq 2 [/tex] thì [TEX]2^{x}\vdots 4[/TEX]
[tex]\Rightarrow 3^{y}\equiv 1 \pmod 4[/tex]
[tex]\Rightarrow y \vdots 2[/tex] Đặt [tex]y=2k(k \in \mathbb{N})[/tex]
[tex]\Rightarrow 2^{x}=3^{2k}-1=\left ( 3^{k}+1 \right )\left ( 3^{k}-1 \right )[/tex]
Cả [tex]3^{k}+1[/tex] và [tex]3^{k}-1[/tex] đều chẵn[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{k}-1=2^{a}\\ 3^{k}+1=2^{b} \end{matrix}\right.(a+b=x;0<a<b) [/tex]

Hướng đi khác.
[tex]\Rightarrow \left ( 3^{k}+1 \right )-\left ( 3^{k}-1 \right )=2^{b}-2^{a}[/tex] [tex]\Leftrightarrow 2=2^{a}(2^{b-a}-1)[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{a}=2\\ 2^{b-a}-1=1 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\2^{b-1}=2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\b=2 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow x=3[/tex] ...