Toán 8 Giải phương trình nghiệm nguyên

Darkness Evolution

Duke of Mathematics
Thành viên
27 Tháng năm 2020
620
1,104
146
17
Vĩnh Phúc
THCS Vĩnh Yên
1) [TEX]x^2+y^2=4z^2[/TEX]
2) [TEX]x^4+y^4+z^4=4t^4 \vdots 4[/TEX]
1)[tex]x^{2}+y^{2}=4z^{2}\vdots 4[/tex]
Dễ thấy [tex]x;y\vdots 2[/tex]. Đặt [tex]x=2x_{1};y=2y_{1}[/tex]
[tex]\Rightarrow 4x{_{1}}^{2}+4y{_{1}}^{2}=4z^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow x{_{1}}^{2}+y{_{1}}^{2}=z^{2}[/tex]
Vây, các bộ số [tex](x;y;z)[/tex] thỏa mãn là [tex](2x_{1};2y_{1};z)[/tex] với [tex](x_{1};y_{1};z)[/tex] là một bộ số Pytago
2) . Giả sử bộ số [tex](x;y;z;t)[/tex] là một nghiệm của phương trình
[TEX] \Rightarrow x^4+y^4+z^4=4t^4 \vdots 4[/TEX]
Dễ thấy [tex]x;y;z\vdots 2[/tex]. Đặt [tex]x=2x_{1};y=2y_{1}; z=2z_{1}[/tex]
[tex]\Rightarrow 16x{_{1}}^{4}+16y{_{1}}^{4}+16z{_{1}}^{4} =4t^{4} [/tex]
[tex]\Rightarrow 4x{_{1}}^{4}+4y{_{1}}^{4}+4z{_{1}}^{4} =t^{4} \vdots 4[/tex]
[tex]\Rightarrow t\vdots 2[/tex]. Đặt [tex]t=2t_{1}[/tex]
[tex]\Rightarrow 4x{_{1}}^{4}+4y{_{1}}^{4}+4z{_{1}}^{4} = 16{t_{1}}^{4} [/tex]
[tex]\Rightarrow x{_{1}}^{4}+y{_{1}}^{4}+z{_{1}}^{4} = 4{t_{1}}^{4} [/tex]
Như vậy, bộ số [tex](x_{1};y_{1};z_{1};t_{1})[/tex] với [tex]x_{1}=\frac{x}{2};y_{1}=\frac{y}{2};z_{1}=\frac{z}{2}t_{1}=\frac{t}{2}[/tex] cũng là một nghiệm của phương trình
Tương tự, bộ số [tex](x_{2};y_{2};z_{2};t_{2})[/tex] với [tex]x_{2}=\frac{x _{1}}{2}=\frac{x}{2^{2}}; y_{2}=\frac{y_{1}}{2}=\frac{y}{2^{2}}; z_{2}=\frac{z_{1}}{2}=\frac{z}{2^{2}}; t_{2}=\frac{t_{1}}{2}=\frac{t}{2^{2}}[/tex] cũng là một nghiệm của phương trình
...
bộ số [tex](x_{n};y_{n};z_{n};t_{n})[/tex] với [tex]x_{n}=\frac{x}{2^{n}}; y_{2}=\frac{y}{2^{n}}; z_{n}=\frac{z}{2^{n}}; t_{n}=\frac{t}{2^{n}}[/tex] cũng là một nghiệm của phương trình
[tex]\Rightarrow x=y=z=t=0[/tex]
 
Top Bottom