Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x(x+1)+y(y+1)=z(z+1) với x,y là các số nguyên tố.
x(x + 1) + y(y + 1) = z(z + 1) => z > y (tìm nghiệm x, y nguyên tố)
x(x + 1) = z(z + 1) - y(y + 1) = (z - y)(z + y + 1) ♦. Do x nguyên tố => hoặc z - y chia hết cho x hoặc z + y + 1 chia hết cho x. Nếu z - y chia hết cho x thì phải có x ≤ z - y => x(x + 1) ≤ (z - y)(z - y + 1) ♥
♦, ♥ => z + y + 1 ≤ z - y + 1, vô lý. Vậy z + y + 1 chia hết cho x.
=> với k tự nhiên nào đó ta có z + y + 1 = kx => x + 1 = k(z - x) ►(từ ♦). Nếu k = 1 thì z + y + 1 = x và x + 1 = z - y => x - y = z + 1 và x + y = z - 1, không thể
Vậy k > 1. ► => 2y = (z + y) - (z - y) = kx - 1 - (z - y) = k[k(z - y) - 1] - 1 - (z - y) = (k + 1)[(k - 1)(z - y) - 1]
Viết lại: 2y = (k + 1)[(k - 1)(z - y) - 1] ▼
Do k ≥ 2 nên k + 1 ≥ 3. Do VT ▼ chỉ có ước 1, 2, y, 2y từ ▼ => hoặc k + 1 = y hoặc k + 1 = 2y
Nếu k + 1 = y thì (k - 1)(z - y) = 3 => (y - 2)(z - y) = 3
1. y - 2 = 1, z - y = 3 => y = 3, z = 6 => x = 5
2. y - 2 = 3, z - y = 1 => y = 5, z = 6 => x = 3
Nếu k + 1 = 2y => (k - 1)(z - y) = 2 => 2(y - 1)(z - y) = 2 => y - 1 = 1 và z - y = 1 => y = 2, z = 3 => x = 2
=> nghiệm (x, y, z) = (5, 3, 6), (3, 5, 6), (2, 2, 3)
Nguồn: yahoo
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
