Câu 2: 19x^2 + 28y^2 = 729.
19x^2+28y^2=729
<=> 18x^2 + 27x^2 + x^2 + y^2 = 3.243 = 9.81
=> x^2 + y^2 chia hết cho 3 => x , y chia hết cho 3
(vì a^2 chia cho 3 dư 1)
đặt x = 3u, y =3v thay vào pt:
19.(3u)^2 + 28(3v)^2 = 9.81
=> 19u^2 + 28.v^2 = 81
lập luận tương tự: đặt u = 3u1, v =3v1, ta có:
19(3.u1)^2 + 28(3.v1)^2 = 9.9
=> 19u1^2 + 28v1^2 = 9
tượng tự: đặt u1 = 3.u2, v1 = 3.v2, ta có:
19.(3.u2)^2 + 28(3.v2)^2 = 9
=> 19u2^2 + 28v2^2 = 1 pt này vô nghiệm.
Vậy pt đã cho không có nghiệm nguyên.
Câu 3: x^3 + 3367 = 2^n
Để sử dụng hằng đẳng thức a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) ta chứng minh n chia hết cho 3
Từ phương trình đã cho suy ra x3≡2n(mod 7)
Nếu n không chia hết cho 3 thì 2n khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2,4 hoặc 7, trong khi đó x3 khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1 hoặc 6 nên không thể có đồng dư thức x3≡2n(mod 7)
Vậy n=3m với m là một số nguyên dương nào đó. Thay vào phương trình đã cho ta được
x3+3367=23m⇔(2m−x)[(2m−x)2+3x.2m]=3367 (1)
Từ (1) suy ra 2m−x là ước của 3367
Hơn nữa, (2m−x)3<23m−x3=3367 nên (2m−x)ϵ{1;7;13}
Xét 2m−x=1, thay vào (1) suy ra 2m(2m−1)=2×561, vô nghiệm
Xét 2m−x=3, thay vào (1) suy ra 2m(2m−13)=2×15, vô nghiệm
Xét 2m−x=7, thay vào (1) suy ra 2m(2m−7)=24×32. Từ đó ta có
m=4;n=3m=12⇒x=9
Vậy (x,n)=(9,12).
Câu 6: x^3 + 2y^3 = 4z^3
Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách lùi vô hạn:
x^3 + 2y^3 = 4z^3 => x⋮2
Đặt x = 2k
=> 8k^3 + 2y^3 = 4z^3 => 4k^3 + y^3 = 2z^3 => y⋮2 => y = 2p => 4k^3 + 8p^3 = 2z^3 => 2k^3 + 4p^3 = z^3
=> z⋮2 => z = 2q
=> 2k^3 + 4p^3 = 8q^3 => k^3 + 2p^3 = 4q^3
Chứng minh tương tự lại suy ra k, p, q chia hết cho 2.
Làm tương tự. Vì vậy x, y, z phải chia hết cho mọi lũy thừa của 2.
=> x = y = z = 0.
Câu 9:
Giả sử x<=y<=z<10
=> pt trở thành 2^x(1+2^(y-x)+2^(z-x))=2^10
=> 1+2^(y-x)+2^(z-x)=2^10 : 2^x
=> 1+2^(y-x)+2^(z-x)=2^(10-x)
Vì 1 là số lẻ => Tồn tại 1 trong 2 số (y-z) và (z-x) =0 để có 1 giá trị số mũ bằng 0.
Nếu y-x=0 => y=z => pt trở thành 2^(x+1)+2^z=1024=2^10
=> x+1<10 => x<9 => x\leq8 => y\leq8.
=> 2^x=2^y\leq256 => 2^x+2^y\leq512 => 2^z\geq512
Nếu 2^x<256 (hay x<8) => 2^x+2^y<512 => 2^z>512 => z>9 => Loại (vì không tồn tại z nguyên thoả mãn 10>z>9)
=> x = y = 8 => z = 9.
Nếu z-x=0 => x=z => x=y=z (vì x\leqy\leqz) => pt trở thành 3 * 2^x=1024 => không tồn tại x, y, z (do 1024 không chia hết cho 3) => loại trường hợp này
Vậy ta có bộ nghiệm nguyên x=8; y=8; z=9 thoả mãn pt trên.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn