Giải phương trình nghiệm nguyên

[huradeli]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giải phương trình nghiệm nguyên: $\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xy}{z}+\dfrac{zx}{y}=3$

 

[kisihoangtoc]

Điều kiện: x,y,z khác 0
$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=3$
\Leftrightarrow$(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=3xyz$
Vì $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2$>$0$ nên $3xyz$>$0$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
$3xyz=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2$\geq$3\sqrt[3]{(xyz)^4}=3xyz\sqrt[3]{xyz}$
\Rightarrow$1$>$xyz$\Rightarrow$xyz=1$
Vì x,y,z là số nguyên và $xyz=1$ nên phương trình có nghiệm $(1;1;1);(1;-1;-1);(-1;1;-1);(-1;-1;1)$