- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Cách làm : Những phương trình mũ giải theo đánh giá thì ta thường phải nhẩm ra nghiệm. Giả sử nhẩm ra nghiệm x=a. Ta sẽ xét 2 trường hợp với x>a, và x<a, chứng minh phương trình vô nghiệm. Hoặc là ta chứng minh : [tex]VT\leq b\leq VP[/tex] . Từ đó ta kết luận phương trình có nghiệm khi VT=VP=b.
Cách nhận diện: nhìn thấy các hàm số có trong phương trình khác biệt nhau quá lớn ( có hàm lượng giác kết hợp mũ loga, hoặc mũ loga khác cơ số...), chắc chắn không thể phân tích được nhân tử. Xem một số bài dưới đây có thể các bạn sẽ dễ hình dung hơn.
1. Giải phương trình: [tex]3^{sin^2x}+3^{cos^2x}=2^x+2^{-x}+2[/tex] (1)
Ở đây rõ ràng ta thấy có xuất hiện các biểu thức lũy thừa với 2 cơ số khác nhau, không thể nào có cách phân tích nhân tử 2 vế, hoặc là logarit hóa. Vậy nên ta sẽ nghĩ đến đánh giá, hoặc dùng tính đơn điệu của hàm số. Ở trong bài này trình bài phương pháp đánh giá.
Khi đã có cảm giác là dùng đánh giá, thì thường ta sẽ đánh giá cái vế dễ hơn trước. Ở VP ta dễ đánh giá hơn.
Áp dụng BĐT Cosy dễ dàng ta có được: [tex]VP\geq 2+2=4[/tex]
Như vậy ta kỳ vọng chứng minh được [tex]VT\leq 4[/tex]
Có sự xuất hiện của 2 hàm sin và cos, vậy ta đổi về 1 hàm thôi cho dễ làm:
[tex]3^{sin^2x}+3^{cos^2x}=3^{sin^2x}+3^{1-sin^2x}=3^{sin^2x}+\frac{3}{3^{sin^2x}}[/tex]
Đến đây nhận thấy nếu dùng Cosy thì chắc chắn không ổn. Vậy ta thử đặt ẩn phụ để giải.
Đặt [TEX]3^{sin^2x}=t=> 1 \leq t \leq 3[/TEX](do [TEX]0 \leq sin^2x \leq 1[/TEX])
Ta có: [tex]f(t)=t+\frac{3}{t}=>f'(t)=1-\frac{3}{t^2}[/tex]
[tex]f'(t)=0<=>t=\sqrt{3};t=-\sqrt{3}[/tex] (loại)
Lập BBT cho hàm f(t) trên đoạn [1;3] ta thấy max đạt tại t=1 hoặc t = 3
Khi đó [tex]f(t)max=f(1)=4[/tex] =>[TEX]VT \leq 4[/TEX]
Vậy : [tex]VT\leq 4\leq VP[/tex] . Dấu "=" xảy ra khi VT=VP=4.
Hay: [tex]2^x+2^{-x}=2<=>x=0[/tex]
2. [tex]3^{x+1}+4^{x+1}=3^{2x+1}+4^{2x+1}[/tex] (2)
1 bài tương tự, nhận thấy không thể nào phân tích được nhân tử. Vậy nghĩ đến đánh giá. Ta dễ dàng nhẩm nghiệm đẹp x=0.
(2)[TEX]<=>3^{x+1}-3^{2x+1}=4^{2x+1}-4^{x+1}[/TEX]
Xét x>0, do [TEX]x+1<2x+1=>3^{x+1}-3^{2x+1}<0[/TEX] và [TEX]4^{2x+1}-4^{x+1}>0[/TEX]. Do đó: [TEX]VT<0<VP[/TEX]. Vậy PT vô nghiệm với x>0
Tương tự, xét x<0, ta có: [TEX]VT>0>VP[/TEX]. PT vô nghiệm với x<0
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của PT.
3.[tex]log_3x+log_4(x+1)=2[/tex]
Nhẩm nghiệm thấy x=3 là nghiệm của PT.
Với x>3, ta có: [tex]log_3x>1, log_4(x+1)>1=> VT>1+1=2=>VT>2=VP[/tex]. Vậy PT vô nghiệm với x>3
Với x<3, ta có: [tex]log_3x<1, log_4(x+1)<1=> VT<1+1=2=>VT<2=VP[/tex]. Vậy PT vô nghiệm với x<3
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x=3.
Cách nhận diện: nhìn thấy các hàm số có trong phương trình khác biệt nhau quá lớn ( có hàm lượng giác kết hợp mũ loga, hoặc mũ loga khác cơ số...), chắc chắn không thể phân tích được nhân tử. Xem một số bài dưới đây có thể các bạn sẽ dễ hình dung hơn.
1. Giải phương trình: [tex]3^{sin^2x}+3^{cos^2x}=2^x+2^{-x}+2[/tex] (1)
Ở đây rõ ràng ta thấy có xuất hiện các biểu thức lũy thừa với 2 cơ số khác nhau, không thể nào có cách phân tích nhân tử 2 vế, hoặc là logarit hóa. Vậy nên ta sẽ nghĩ đến đánh giá, hoặc dùng tính đơn điệu của hàm số. Ở trong bài này trình bài phương pháp đánh giá.
Khi đã có cảm giác là dùng đánh giá, thì thường ta sẽ đánh giá cái vế dễ hơn trước. Ở VP ta dễ đánh giá hơn.
Áp dụng BĐT Cosy dễ dàng ta có được: [tex]VP\geq 2+2=4[/tex]
Như vậy ta kỳ vọng chứng minh được [tex]VT\leq 4[/tex]
Có sự xuất hiện của 2 hàm sin và cos, vậy ta đổi về 1 hàm thôi cho dễ làm:
[tex]3^{sin^2x}+3^{cos^2x}=3^{sin^2x}+3^{1-sin^2x}=3^{sin^2x}+\frac{3}{3^{sin^2x}}[/tex]
Đến đây nhận thấy nếu dùng Cosy thì chắc chắn không ổn. Vậy ta thử đặt ẩn phụ để giải.
Đặt [TEX]3^{sin^2x}=t=> 1 \leq t \leq 3[/TEX](do [TEX]0 \leq sin^2x \leq 1[/TEX])
Ta có: [tex]f(t)=t+\frac{3}{t}=>f'(t)=1-\frac{3}{t^2}[/tex]
[tex]f'(t)=0<=>t=\sqrt{3};t=-\sqrt{3}[/tex] (loại)
Lập BBT cho hàm f(t) trên đoạn [1;3] ta thấy max đạt tại t=1 hoặc t = 3
Khi đó [tex]f(t)max=f(1)=4[/tex] =>[TEX]VT \leq 4[/TEX]
Vậy : [tex]VT\leq 4\leq VP[/tex] . Dấu "=" xảy ra khi VT=VP=4.
Hay: [tex]2^x+2^{-x}=2<=>x=0[/tex]
2. [tex]3^{x+1}+4^{x+1}=3^{2x+1}+4^{2x+1}[/tex] (2)
1 bài tương tự, nhận thấy không thể nào phân tích được nhân tử. Vậy nghĩ đến đánh giá. Ta dễ dàng nhẩm nghiệm đẹp x=0.
(2)[TEX]<=>3^{x+1}-3^{2x+1}=4^{2x+1}-4^{x+1}[/TEX]
Xét x>0, do [TEX]x+1<2x+1=>3^{x+1}-3^{2x+1}<0[/TEX] và [TEX]4^{2x+1}-4^{x+1}>0[/TEX]. Do đó: [TEX]VT<0<VP[/TEX]. Vậy PT vô nghiệm với x>0
Tương tự, xét x<0, ta có: [TEX]VT>0>VP[/TEX]. PT vô nghiệm với x<0
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của PT.
3.[tex]log_3x+log_4(x+1)=2[/tex]
Nhẩm nghiệm thấy x=3 là nghiệm của PT.
Với x>3, ta có: [tex]log_3x>1, log_4(x+1)>1=> VT>1+1=2=>VT>2=VP[/tex]. Vậy PT vô nghiệm với x>3
Với x<3, ta có: [tex]log_3x<1, log_4(x+1)<1=> VT<1+1=2=>VT<2=VP[/tex]. Vậy PT vô nghiệm với x<3
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất x=3.