giải phương trinh lương giác
81*(sin x)^10 + (cos x)^10 =81/256
ĐK: [TEX]x \in R[/TEX]
[TEX]81.sin^{10}x +(1-sin^2x)^5-\frac{81}{256}=0[/TEX]
Đặt [TEX]t=sin^2x \Rightarrow t\in [0; 1][/TEX]
PT trở thành
[TEX]f(t)=81t^5+(1-t)^5-\frac{81}{256}=0[/TEX] (1)
[TEX]f'(t)=5.81.t^4-5.(1-t)^4[/TEX]
[TEX]= 5[(9t^2)^2 - ((1-t)^2)^2][/TEX]
[TEX]= 5[9t^2-(1-t)^2][9t^2+(1-t)^2][/TEX]
[TEX]= 5[8t^2+2t-1][9t^2+(1-t)^2][/TEX]
[TEX]= 5(4t-1)(2t+1)[9t^2+(1-t)^2][/TEX]
[TEX]f'(t)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{t=\frac{1}{4}}\\{t=\frac{-1}{2}} [/TEX]
Dấu y' như hình vẽ.
Do [TEX]t\in [0; 1][/TEX] nên ta chỉ xét hàm f(t) trong khoảng này
TH1: [TEX]t\in [0; \frac{1}{4}][/TEX]
[TEX]y' \leq 0 \forall t \in [0; \frac{1}{4}][/TEX]
nên hàm số đồng biến với mọi [TEX]t\in [0; \frac{1}{4}][/TEX]
PT (1) có VT là hàm nghịch biến, VP là hàm hằng => có tối đa 1 nghiệm.
Nhận thấy [TEX]t=\frac{1}{4}[/TEX] là nghiệm => đây là nghiệm duy nhất của TH1
TH2: [TEX]t\in (\frac{1}{4}; 1][/TEX]
[TEX]y' > 0 \forall t \in (\frac{1}{4}; 1][/TEX]
nên hàm số đồng biến trên [TEX] (\frac{1}{4}; 1][/TEX]
Do [TEX]t > \frac{1}{4} \Rightarrow f(t) > f(\frac{1}{4}) = 0[/TEX]
=> TH2 vô nghiệm
Vậy[TEX]t=\frac{1}{4}[/TEX] là nghiệm duy nhất
[TEX]\Rightarrow sin^2 x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow sin x = \pm \frac{1}{2}[/TEX]
đến đây e tự làm nốt nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
