giải phương trình lượng giác

[dangthitho]

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1.cosx. cos2x. cos4x. cos8x= 1/16
2. 8cos^3 (x+pi/3)= cos3x
3. tan^2 x- tanx.tan3x=2
4. tan^2 x+ cot^2 x+ cot^2 2x=11/3

 

[duynhan1]

1.cosx. cos2x. cos4x. cos8x= 1/16
2. 8cos^3 (x+pi/3)= cos3x
3. tan^2 x- tanx.tan3x=2
4. tan^2 x+ cot^2 x+ cot^2 2x=11/3

1.[TEX]x= k \pi [/TEX] không phải là nghiệm
[TEX]\Leftrightarrow sinx.cosx. cos2x. cos4x. cos8x= \frac{1}{16} sin x [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin 16x = sin x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \begin{16x = x+ k 2\pi}\\{16x= \pi - x+ k 2 \pi } k\in Z[/TEX]

 

[ivory]

1.cosx. cos2x. cos4x. cos8x= 1/16
2. 8cos^3 (x+pi/3)= cos3x
3. tan^2 x- tanx.tan3x=2
4. tan^2 x+ cot^2 x+ cot^2 2x=11/3

[TEX]cosxcos2xcos4xcos8x=\frac{1}{16};[/TEX]
[TEX]8cos^3(x+\frac{\pi}{3})=cos3x;[/TEX]
[TEX]tan^2x-tanxtan3x=2;[/TEX]
[TEX]tan^2x+cot^2x+cot^22x=\frac{11}{3}.[/TEX]

 

[duoisam117]

[TEX]tan^2x+cot^2x+cot^22x=\frac{11}{3}.[/TEX](*)

[TEX]dkxd:\ sin2x\ khac'\ 0[/TEX]

(*)[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{cos^2x}-1+\frac{1}{sin^2x}-1+\frac{1}{sin^22x}-1=\frac{11}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{4sin^2x+4cos^2x+1}{sin^22x}=\frac{20}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{5}{sin^22x}=\frac{20}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin^22x=\frac{3}{4}\(recieve)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1-cos4x}{2}=\frac{3}{4}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos4x=-\frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]tan^2x-tanxtan3x=2;[/TEX](*)

[TEX]dkxd:\ cos3x\ khac'\ 0[/TEX]

(*)[TEX]\Leftrightarrow \frac{sinx}{cosx} (\frac{sinx}{cosx}-\frac{sin3x}{cos3x})=2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sinx(sinx.cos3x-sin3x.cosx)=2cos3x.cos^2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sinx.sin(-2x)=2cos3x.cos^2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow -2sinx.cosx=2cos3x.cos^2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow -2sin^2x =cos3x.cos^2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow -\frac{1-cos2x}{2}=\frac{1}{2}(cos4x+cos2x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos2x-1=cos54x+cos2x[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos4x=-1[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]8cos^3(x+\frac{\pi}{3})=cos3x(1)[/TEX](*)

[TEX]4 cos^3 (x + \frac{ \pi}{3} ) = cos ( 3x + \pi ) + 3 cos ( x+ \frac{ {\pi}}{3}) = -cos 3x + 3 cos ( x+ \frac{ {\pi}}{3}) [/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow -2 cos 3x + 6cos ( x+ \frac{ {\pi}}{3}) = cos 3x [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 cos (x+ \frac{\pi}{3} ) = cos 3x[/TEX](*)(*)

Từ (*) & (*)(*), ta có:

[TEX]2 cos (x+ \frac{\pi}{3} ) = (2 cos (x+ \frac{\pi}{3} ))^3 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \begin{2 cos (x+ \frac{\pi}{3} ) =0 }\\{2 cos (x+ \frac{\pi}{3} ) = \pm 1} [/TEX]

 

[duoisam117]

[TEX]8cos^3(x+\frac{\pi}{3})=cos3x;[/TEX](*)

[TEX]Dat \ t=x+\frac{\pi}{3} \ vay \ x=t- \frac{\pi}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos3x=cos(3t-\pi)=-cos3t[/TEX]

(*) [TEX]\Leftrightarrow 8cos^3t=-cos3t[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8cos^3t=-4cos^3t+3cost[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 12cos^3t-3cost=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3cost.(4cos^2t-1)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3cost.(4.\frac{1}{2}[cos2t-1)-1]=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 3cost.(2cos2t+1)=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \begin{cost =0 }\\{2t=-\frac{1}{2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ \begin{t=k\pi+\frac{\pi}{2} }\\{2t=\pm \frac{\pi}{3} +k\pi}[/TEX]

(*) [TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x=\frac{\pi}{6}+2k\pi}\\{x=k\pi}\\{x=\frac{2\pi}{3}+k\pi}[/TEX]

@ duynhan: Pạn chơi ăn gian nên ko tính :-\"

 

[connguoivietnam]

[TEX]cosxcos2xcos4xcos8x=\frac{1}{16}[/TEX]

[TEX]16sinxcosxcos2xcos4xcos8x=1[/TEX]

thấy [TEX]sinx=0[/TEX] không phải là nghiệm pt nên nhân 2 vế pt với [TEX]sinx[/TEX]

[TEX]16sinxcosxcos2xcos4xcos8x=sinx[/TEX]

[TEX]8sin2xcos2xcos4xcos8x=sinx[/TEX]

[TEX]4sin4xcos4xcos8x=sinx[/TEX]

[TEX]2sin8xcos8x=sinx[/TEX]

[TEX]sin16x=sinx[/TEX]