giải phương trình lớp 9

[il0veyou123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho PT $ax^{3}+bx^{2}+cx+d = 0(a \ne 0)$ có 3 nghiệm dương phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$.
CMR: $x_{1}^{7}+x_{2}^{7}+x_{3}^{7} \ge \frac{-b^{3}c^{2}}{81a^{5}}$.
Bài 2: Giả sử PT $ax^{2}-bx+b = 0$ (ab>0) có nghiệm $x_{1},x_{2}$.CMR tồn tại $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2} \in [-1;1]$ thỏa mãn :
$\sqrt{\frac{x_{1}}{x_{2}}}+\alpha _{1}\sqrt{\frac{x_{2}}{x_{1}}}+\alpha _{2}\sqrt{\frac{b}{a}} = 0$.

 

[eye_smile]

1,Theo định lí Vi-et cho phương trình bậc ba, ta có:
$x_1+x_2+x_3=\dfrac{-b}{a}$
$x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1=\dfrac{c}{a}$
\Rightarrow $-\dfrac{{b^3}{c^2}}{81{a^5}}=\dfrac{1}{81}.{(x_1+x_2+x_3)^3}.{(x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1)^2}$

Ta có: $\dfrac{1}{3}.{(x_1+x_2+x_3)^2}$ \geq $x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1$ (Nhân tung ra là c/m được ngay)

\Rightarrow $\dfrac{1}{729}{(x_1+x_2+x_3)^7}$ \geq $\dfrac{1}{81}{(x_1+x_2+x_3)^3}.{(x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1)^2}$

Theo Cauchy-Schwarz, lại có:
$\dfrac{1}{729}{(x_1+x_2+x_3)^8}$ \leq $\dfrac{1}{9}{({x_1^2}+{x_2^2}+{x_3^2})^4}$ \leq ${(x_1^4+x_2^4+x_3^4)^2}$ \leq $(x_1+x_2+x_3)({x_1^7}+{x_2^7}+{x_3^7})$

\Rightarrow đpcm

p.s:Mới gặp cái này tháng trước)

 

[eye_smile]

2,Từ đề bài \Rightarrow $x_1;x_2$ đều dương

Với $a_1=1;a_2=-1$ thì đẳng thức cần c/m đúng nên tồn tại $a_1;a_2$ thuộc $[-1;1]$ để đẳng thức xảy ra

\Rightarrow đpcm

C/m khi $a_1=1;a_2=-1$ thì đẳng thức xảy ra :
$\sqrt{\dfrac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\dfrac{x_2}{x_1}} = (\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}).\sqrt{x_1.x_2}= \dfrac{x_1+x_2}{x_1.x_2}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}= (\dfrac{b}{a} :\dfrac{b}{a}).\sqrt{\dfrac{b}{a}} = \sqrt{\dfrac{b}{a}}$

p.s: $a_1;a_2$ là anpha1;anpha2 nhá