- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Các dạng PT bậc 4 thường gặp:
1. Dạng pt đối xứng: [TEX]ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0[/TEX]
Đây là dạng ngon ăn nhất, chỉ đơn giản chia 2 vế cho [TEX]x^2[/TEX] là ta dễ dàng phân tích được
Giải PT: [TEX]2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0[/TEX]
Chia cả 2 vế của pt cho [TEX]x^2[/TEX] ta được:
[tex]2x^2+3x-16+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}=0<=>2(x^2+\frac{1}{x^2})+3(x+\frac{1}{x})-16=0<=>2((x+\frac{1}{x})^2-2)+3(x+\frac{1}{x})-16=0<=>2(x+\frac{1}{x})^2+3(x+\frac{1}{x})-20=0[/tex]
Lúc này đặt [tex]x+\frac{1}{x}=t[/tex] ta được pt bậc 2: [TEX]2t^2+3t-20=0<=>t=-4;t=2,5[/TEX]
Sau đó ta trả biến x, chỉ còn pt bậc 2, dễ dàng giải được nghiệm
Ngoài ra, có thể có dạng mở rộng của pt đối xứng:
[TEX]ax^4+bx^3+cx^2+bkx+ak^2=0[/TEX] thì cách làm vẫn tương tự, chia cả 2 vế cho [TEX]x^2[/TEX] rồi ta phân tích tương tự
2. Dạng pt: [TEX](x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m[/TEX] với a,b,c,d chia thành 2 cặp có tổng bằng nhau.
Giải PT: [TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=8[/TEX]
Ta thấy: [TEX]0+3=1+2=3[/TEX] nên ta ghép nhân tử 1 với 4, 2 với 3, ta được:
[TEX](x^2+3x)(x^2+3x+2)=8[/TEX]
Lúc này ta đặt [TEX]x^2+3x=t[/TEX] ta sẽ thu được pt:
[TEX]t(t+2)=8<=>t^2+2t-8=0[/TEX] là pt bậc 2 của ẩn t. Giải sau đó trả biến x
3. Dạng pt: [TEX](x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=ex^2[/TEX] với a,b,c,d chia thành 2 cặp có tích bằng nhau
Giải pt: [TEX](x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=36x^2[/TEX]
Ta thấy [TEX]2.12=8.3=24[/TEX] nên ghép 1 với 4, 2 với 3 ta được:
[TEX](x^2+14x+24)(x^2+11x+24)=36x^2[/TEX]
Giờ ta chia cả 2 vế cho x^2 sẽ được:
[tex](x+\frac{24}{x}+14)(x+\frac{24}{x}+11)=36[/tex]
Đặt [TEX]x+\frac{24}{x}=t[/TEX], ta lại thu được pt bậc 2 của t:
[TEX](t+14)(t+11)=36[/TEX]
4. Dạng pt: [TEX]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0[/TEX]
Đây là dạng khoai nhất. Thì có 1 cách sử dụng casio mình sẽ nói vào lúc khác. Tuy nhiên nếu thi học sinh giỏi mà không được mang, thì có 1 cách để ta bám vào, đó là hệ số bất định
Giải pt: [TEX]x^4-4x^3-10x^2+37x-14=0[/TEX]
Ta kì vọng sẽ phân tích được pt về dạng sau :
[TEX](x^2+ax+c)(x^2+bx+d)=0[/TEX]
Với các hệ số a,b,c,d là nguyên
Như vậy ta sẽ có hệ pt:
[tex]\left\{\begin{matrix} a+b=-4\\ c+d+ab=-10\\ ad+bc=37\\ cd=-14 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải cái hệ 4 ẩn này chuẩn chỉnh thì chắc là khó hơn cả giải pt ban đầu. Tuy nhiên ta dùng mẹo, c và d là nguyên, còn [TEX]c.d=-14[/TEX]. Vậy ta chỉ cần thử các cặp (c,d): (1;-14),(-1;14) (2;-7) (-2;7)
Không cần thử các hoán vị ngược lại vì pt 4 ẩn này đối xứng hệ số. Khi chọn được cặp rồi ta thay c,d vào pt thứ 3 để giải hệ pt bậc nhất 2 ẩn của a và b
Với [TEX]c=2,d=-7[/TEX] thì ta có hệ pt: [TEX]a+b=-4[/TEX] và [TEX]-7a+2b=37[/TEX]=>a=-5,b=1, nguyên đẹp. Các giá trị khác thay vào thì hệ sẽ ra phân số
Như vậy ta phân tích được: [TEX](x^2-5x+2)(x^2+x-7)=0[/TEX]
Trường hợp mà hệ số hữu tỉ là kết quả của hệ thì.....thôi bỏ đi, mình không giải được đâu =))
1. Dạng pt đối xứng: [TEX]ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0[/TEX]
Đây là dạng ngon ăn nhất, chỉ đơn giản chia 2 vế cho [TEX]x^2[/TEX] là ta dễ dàng phân tích được
Giải PT: [TEX]2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0[/TEX]
Chia cả 2 vế của pt cho [TEX]x^2[/TEX] ta được:
[tex]2x^2+3x-16+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}=0<=>2(x^2+\frac{1}{x^2})+3(x+\frac{1}{x})-16=0<=>2((x+\frac{1}{x})^2-2)+3(x+\frac{1}{x})-16=0<=>2(x+\frac{1}{x})^2+3(x+\frac{1}{x})-20=0[/tex]
Lúc này đặt [tex]x+\frac{1}{x}=t[/tex] ta được pt bậc 2: [TEX]2t^2+3t-20=0<=>t=-4;t=2,5[/TEX]
Sau đó ta trả biến x, chỉ còn pt bậc 2, dễ dàng giải được nghiệm
Ngoài ra, có thể có dạng mở rộng của pt đối xứng:
[TEX]ax^4+bx^3+cx^2+bkx+ak^2=0[/TEX] thì cách làm vẫn tương tự, chia cả 2 vế cho [TEX]x^2[/TEX] rồi ta phân tích tương tự
2. Dạng pt: [TEX](x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m[/TEX] với a,b,c,d chia thành 2 cặp có tổng bằng nhau.
Giải PT: [TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=8[/TEX]
Ta thấy: [TEX]0+3=1+2=3[/TEX] nên ta ghép nhân tử 1 với 4, 2 với 3, ta được:
[TEX](x^2+3x)(x^2+3x+2)=8[/TEX]
Lúc này ta đặt [TEX]x^2+3x=t[/TEX] ta sẽ thu được pt:
[TEX]t(t+2)=8<=>t^2+2t-8=0[/TEX] là pt bậc 2 của ẩn t. Giải sau đó trả biến x
3. Dạng pt: [TEX](x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=ex^2[/TEX] với a,b,c,d chia thành 2 cặp có tích bằng nhau
Giải pt: [TEX](x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=36x^2[/TEX]
Ta thấy [TEX]2.12=8.3=24[/TEX] nên ghép 1 với 4, 2 với 3 ta được:
[TEX](x^2+14x+24)(x^2+11x+24)=36x^2[/TEX]
Giờ ta chia cả 2 vế cho x^2 sẽ được:
[tex](x+\frac{24}{x}+14)(x+\frac{24}{x}+11)=36[/tex]
Đặt [TEX]x+\frac{24}{x}=t[/TEX], ta lại thu được pt bậc 2 của t:
[TEX](t+14)(t+11)=36[/TEX]
4. Dạng pt: [TEX]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0[/TEX]
Đây là dạng khoai nhất. Thì có 1 cách sử dụng casio mình sẽ nói vào lúc khác. Tuy nhiên nếu thi học sinh giỏi mà không được mang, thì có 1 cách để ta bám vào, đó là hệ số bất định
Giải pt: [TEX]x^4-4x^3-10x^2+37x-14=0[/TEX]
Ta kì vọng sẽ phân tích được pt về dạng sau :
[TEX](x^2+ax+c)(x^2+bx+d)=0[/TEX]
Với các hệ số a,b,c,d là nguyên
Như vậy ta sẽ có hệ pt:
[tex]\left\{\begin{matrix} a+b=-4\\ c+d+ab=-10\\ ad+bc=37\\ cd=-14 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải cái hệ 4 ẩn này chuẩn chỉnh thì chắc là khó hơn cả giải pt ban đầu. Tuy nhiên ta dùng mẹo, c và d là nguyên, còn [TEX]c.d=-14[/TEX]. Vậy ta chỉ cần thử các cặp (c,d): (1;-14),(-1;14) (2;-7) (-2;7)
Không cần thử các hoán vị ngược lại vì pt 4 ẩn này đối xứng hệ số. Khi chọn được cặp rồi ta thay c,d vào pt thứ 3 để giải hệ pt bậc nhất 2 ẩn của a và b
Với [TEX]c=2,d=-7[/TEX] thì ta có hệ pt: [TEX]a+b=-4[/TEX] và [TEX]-7a+2b=37[/TEX]=>a=-5,b=1, nguyên đẹp. Các giá trị khác thay vào thì hệ sẽ ra phân số
Như vậy ta phân tích được: [TEX](x^2-5x+2)(x^2+x-7)=0[/TEX]
Trường hợp mà hệ số hữu tỉ là kết quả của hệ thì.....thôi bỏ đi, mình không giải được đâu =))
