K
khanh3294
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Trong toán học, một phương trình bậc ba(tiếng Anh: cubic equation) (một ẩn) là một phương trình đại số mà lũy thừa bậc cao nhất của ẩn là bậc ba. Chẳng hạn như phương trình sau:
[TEX]2x^3-4x^2+3x-4=0[/TEX]
và dạng tổng quát của nó là:
[TEX]a_3x^3+a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0.[/TEX]
Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số [TEX]a_0, ..., a_3[/TEX] là các số thực. Tuy nhiên đa số lý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong một trường có đặc số (?) khác 3. Ta luôn giả sử rằng [TEX]a_3[/TEX] khác không.
Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipione del Ferro và Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.
Trước tiên, chia phương trình cho [TEX]a_3[/TEX] để đưa về dạng
[TEX]x^3+ax^2+bx+c = 0[/TEX]. [TEX](1) [/TEX]
Đặt [TEX]x =t- \frac{a}{3}[/TEX] và biến đổi ta có phương trình
[TEX]t^3 + pt + q = 0[/TEX], trong đó [TEX]p = b - \frac{a^2}{3}[/TEX] và [TEX]q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. (2)[/TEX]
Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.
Ta sẽ tìm các số [TEX]u[/TEX] và [TEX]v[/TEX] sao cho
[TEX]u^3-v^3 = q[/TEX] và [TEX]uv = \frac{p}{3}. (3)[/TEX]
một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt
[TEX]t =v-u[/TEX]
có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị [TEX]t[/TEX] vào [TEX](2)[/TEX], nhờ hằng đẳng thức lập phương của nhị thức
[TEX](v-u)^3+3uv(v-u)+(u^3-v^3)=0[/TEX]
Hệ [TEX](3)[/TEX] có thể giải từ phương trình thứ hai rút [TEX]v[/TEX], ta có
[TEX] v =\frac{p}{3u}[/TEX].
Thay vào phương trình thứ nhất trong [TEX](3)[/TEX] ta có
[TEX] u^3-\frac{p^3}{27u^3}=q.[/TEX]
Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với [TEX]u^3[/TEX]. Khi giải, ta tìm đươc
[TEX] u=\sqrt[3]{{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}. (4) [/TEX]
Vì [TEX]t=v-u[/TEX] và [TEX]t=x+\frac{a}{3}[/TEX], ta tìm được
[TEX]x=\frac{p}{3u}-u-{a\over 3}[/TEX].
Chú ý rằng, có sáu giá trị [TEX]u[/TEX] tìm được từ [TEX](4)[/TEX], vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu [TEX](\pm)[/TEX], và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với [TEX]-\frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2}[/TEX]. Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu [TEX]p = 0[/TEX], thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho [TEX]u[/TEX] khác [TEX]0, i.e. u = \sqrt[3]{q}[/TEX]. Thứ hai, nếu [TEX]p = q = 0[/TEX], thì ta có [TEX]x = \frac{-a}{3}[/TEX].
[TEX]2x^3-4x^2+3x-4=0[/TEX]
và dạng tổng quát của nó là:
[TEX]a_3x^3+a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0.[/TEX]
Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số [TEX]a_0, ..., a_3[/TEX] là các số thực. Tuy nhiên đa số lý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong một trường có đặc số (?) khác 3. Ta luôn giả sử rằng [TEX]a_3[/TEX] khác không.
Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipione del Ferro và Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.
Trước tiên, chia phương trình cho [TEX]a_3[/TEX] để đưa về dạng
[TEX]x^3+ax^2+bx+c = 0[/TEX]. [TEX](1) [/TEX]
Đặt [TEX]x =t- \frac{a}{3}[/TEX] và biến đổi ta có phương trình
[TEX]t^3 + pt + q = 0[/TEX], trong đó [TEX]p = b - \frac{a^2}{3}[/TEX] và [TEX]q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. (2)[/TEX]
Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.
Ta sẽ tìm các số [TEX]u[/TEX] và [TEX]v[/TEX] sao cho
[TEX]u^3-v^3 = q[/TEX] và [TEX]uv = \frac{p}{3}. (3)[/TEX]
một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt
[TEX]t =v-u[/TEX]
có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị [TEX]t[/TEX] vào [TEX](2)[/TEX], nhờ hằng đẳng thức lập phương của nhị thức
[TEX](v-u)^3+3uv(v-u)+(u^3-v^3)=0[/TEX]
Hệ [TEX](3)[/TEX] có thể giải từ phương trình thứ hai rút [TEX]v[/TEX], ta có
[TEX] v =\frac{p}{3u}[/TEX].
Thay vào phương trình thứ nhất trong [TEX](3)[/TEX] ta có
[TEX] u^3-\frac{p^3}{27u^3}=q.[/TEX]
Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với [TEX]u^3[/TEX]. Khi giải, ta tìm đươc
[TEX] u=\sqrt[3]{{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}. (4) [/TEX]
Vì [TEX]t=v-u[/TEX] và [TEX]t=x+\frac{a}{3}[/TEX], ta tìm được
[TEX]x=\frac{p}{3u}-u-{a\over 3}[/TEX].
Chú ý rằng, có sáu giá trị [TEX]u[/TEX] tìm được từ [TEX](4)[/TEX], vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu [TEX](\pm)[/TEX], và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với [TEX]-\frac{1}{2} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2}[/TEX]. Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu [TEX]p = 0[/TEX], thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho [TEX]u[/TEX] khác [TEX]0, i.e. u = \sqrt[3]{q}[/TEX]. Thứ hai, nếu [TEX]p = q = 0[/TEX], thì ta có [TEX]x = \frac{-a}{3}[/TEX].
