Toán 10 Giải phương trình: $2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}$

Đỗ Minh Duy

Học sinh
Thành viên
25 Tháng bảy 2018
110
80
36

Attachments

  • 258881014_1079412152634076_2925613845225080349_n.jpg
    258881014_1079412152634076_2925613845225080349_n.jpg
    84.8 KB · Đọc: 25
Last edited by a moderator:

vangiang124

TMod Toán
Cu li diễn đàn
22 Tháng tám 2021
1,186
2,839
331
19
Gia Lai
THPT Chuyên Hùng Vương
3. $2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}$
4. $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$
Giải giúp em câu 3,4 được ko ạ? Mong mọi người giúp em cảm ơn mọi người nhiều!!
Câu 3. $2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}$

ĐK: $x \ge 1$

Ta có: $pt \iff 2x^2+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$

Tới đây ta sẽ có ý tưởng phân tích vế trái thành dạng:

$\alpha (x-1) +\beta (x^2+x+1)$ để tiện cho việc đặt ẩn phụ.

Như vậy ta có $2x^2+5x-1= \alpha (x-1) +\beta (x^2+x+1)$

Nhẩm tìm $\alpha$ và $\beta$ ta được $\alpha=3$ và $\beta =2$

Tóm lại, phương trình ban đầu trở thành

$3(x-1) +2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$

Đặt $u=x-1 \ge 0$, $v=x^2+x+1 >0$ ta được

$3u+2v=7\sqrt{uv}$

$\iff 9u^2+12uv+4v^2=49uv$

$\iff 9u^2-37uv+4v^2=0$

$\iff 9u^2-36uv-uv+4v^2=0$

$\iff 9u(u-4v) -v(u-4v)=0$

$\iff (u-4v)(9u-v)=0$

$\iff \left[\begin{array}{1} u=4v \\ u=\dfrac{1}9 v \end{array} \right.$

Thay $u$ và $v$ vào tìm được $x=4\pm \sqrt{6}$


Câu 4. $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$

Đặt $u=\sqrt{x^2+1}, \quad u \ge 1 \implies x^2+1=u^2$

Ta có phương trình: $u^2+3x=(x+3)u$

$\iff u^2 - (x+3)u +3x=0$

Em có thể nhận ra phương trình bậc 2 ẩn $u$ này có $S=x+3$ và $P=3x$

Vì sao lại có điều này thì em xem định lý talet đảo nha

Ta có $\begin{cases} S=x+3 \\P=3x \end{cases}$

$\iff \begin{cases} u_1+u_2= x+3 \\ u_1 \cdot u_2=3x \end{cases}$

Dễ nhận thấy $\left[\begin{array} {1} u=x \\ u=3 \end{array}\right.$

Thay $u=\sqrt{x^2+1}$ vào ta tìm được nghiệm $x$

Em có thể tham khảo kiến thức về phương trình vô tỷ tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/ly-thuyet-chuyen-de-hsg-phuong-trinh-vo-ty.834086/
 
Last edited:
Top Bottom