3. $2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}$
4. $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$
Giải giúp em câu 3,4 được ko ạ? Mong mọi người giúp em cảm ơn mọi người nhiều!!
Câu 3. $2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}$
ĐK: $x \ge 1$
Ta có: $pt \iff 2x^2+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$
Tới đây ta sẽ có ý tưởng phân tích vế trái thành dạng:
$\alpha (x-1) +\beta (x^2+x+1)$ để tiện cho việc đặt ẩn phụ.
Như vậy ta có $2x^2+5x-1= \alpha (x-1) +\beta (x^2+x+1)$
Nhẩm tìm $\alpha$ và $\beta$ ta được $\alpha=3$ và $\beta =2$
Tóm lại, phương trình ban đầu trở thành
$3(x-1) +2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$
Đặt $u=x-1 \ge 0$, $v=x^2+x+1 >0$ ta được
$3u+2v=7\sqrt{uv}$
$\iff 9u^2+12uv+4v^2=49uv$
$\iff 9u^2-37uv+4v^2=0$
$\iff 9u^2-36uv-uv+4v^2=0$
$\iff 9u(u-4v) -v(u-4v)=0$
$\iff (u-4v)(9u-v)=0$
$\iff \left[\begin{array}{1} u=4v \\ u=\dfrac{1}9 v \end{array} \right.$
Thay $u$ và $v$ vào tìm được $x=4\pm \sqrt{6}$
Câu 4. $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}$
Đặt $u=\sqrt{x^2+1}, \quad u \ge 1 \implies x^2+1=u^2$
Ta có phương trình: $u^2+3x=(x+3)u$
$\iff u^2 - (x+3)u +3x=0$
Em có thể nhận ra phương trình bậc 2 ẩn $u$ này có $S=x+3$ và $P=3x$
Vì sao lại có điều này thì em xem định lý talet đảo nha
Ta có $\begin{cases} S=x+3 \\P=3x \end{cases}$
$\iff \begin{cases} u_1+u_2= x+3 \\ u_1 \cdot u_2=3x \end{cases}$
Dễ nhận thấy $\left[\begin{array} {1} u=x \\ u=3 \end{array}\right.$
Thay $u=\sqrt{x^2+1}$ vào ta tìm được nghiệm $x$
Em có thể tham khảo kiến thức về phương trình vô tỷ tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/ly-thuyet-chuyen-de-hsg-phuong-trinh-vo-ty.834086/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
