Giải nhanh cực trị hàm trùng phương

[thangnguyenst95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cực trị hàm trùng phương là một vấn đề quen thuộc trong các đề thi. Người ra đề có thể “bịa” rất nhiều câu hỏi khác nhau về vấn đề này. Ở đây mình chỉ đề cập tới một số vấn đề hay gặp nhất. Mọi người đóng góp thêm để chủ đề đầy đủ hơn nhé.
1. Cơ sở lý thuyết:
Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$.

TXĐ: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y'=4a{{x}^{3}}+2bx$.

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& x=0 \\

& {{x}^{2}}=-\frac{b}{2a} \\

\end{align} \right.$

2. Một số kết quả đáng nhớ.

a, Đồ thị hàm số luôn có ít nhất một cực trị tại điểm $A\left( 0,c \right)$.

b, Điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị: $-\frac{b}{2a}>0$ ($a,b$ trái dấu) (1) .

c, Khi hàm số thỏa mãn điều kiện (1), thì 3 điểm cực trị của hàm số tạo thành một tam giác cân ABC, cân tại $A\left( 0,c \right)$. Ta sẽ chứng minh được một số kết quả thú vị sau:
- $\tan \alpha =\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|}\sqrt{-\frac{2a}{b}}$ với $\alpha =\widehat{ABC}$.

- ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|}\sqrt{-\frac{b}{2a}}$ .

- $R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

(bạn đọc tự chứng minh các công thức trên nhé)

 

[thangnguyenst95]

ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hàm số $y=2{{x}^{4}}-4m{{x}^{2}}+1$. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho tam giác ABC:
a, Là tam giác đều.
b, Là tam giác vuông.
c, Là tam giác có một góc bằng ${{120}^{o}}$.
d, Có cạnh bên gấp ba lần cạnh đáy.
e, Có diện tích bằng 1.
f, Có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Giải:
$a = 2,b = - 4m,c = 1$.
Để hàm số có 3 cực trị $ \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = m > 0 \Leftrightarrow m > 0$.
Ta có tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A.
a, Để tam giác ABC là tam giác đều, suy ra $\widehat {ABC} = {60^o}$
$\begin{array}{l}
\tan \widehat {ABC} = \frac{{{b^2}}}{{4\left| a \right|}}\sqrt { - \frac{{2a}}{b}} = 2{m^2}\sqrt {\frac{1}{m}} = \tan {60^o} = \sqrt 3 \\
\Leftrightarrow m = \sqrt[3]{{\frac{3}{{4}}}}
\end{array}$.
b, Để ABC là tam giác vuông, lưu ý ABC luôn là tam giác cân, suy ra ABC vuông cân ở A.
Vậy nên ABC là tam giác vuông khi $\widehat {ABC} = {45^o}$
$\begin{array}{l}
\tan \widehat {ABC} = \frac{{{b^2}}}{{4\left| a \right|}}\sqrt { - \frac{{2a}}{b}} = 2{m^2}\sqrt {\frac{1}{m}} = \tan {45^o} = 1\\
\Leftrightarrow m = \sqrt[3]{{\frac{1}{{4}}}}
\end{array}$.
c, Tam giác ABC có có một góc bằng ${{120}^{o}}$, mà ABC cân ở A, suy ra
$\widehat {BAC} = {120^o} \Rightarrow \widehat {ABC} = {30^o}$
$\begin{array}{l}
\tan \widehat {ABC} = \frac{{{b^2}}}{{4\left| a \right|}}\sqrt { - \frac{{2a}}{b}} = 2{m^2}\sqrt {\frac{1}{m}} = \tan {30^o} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
\Leftrightarrow m = \sqrt[3]{{\frac{1}{{12}}}}
\end{array}$.
d, $AB = 3BC$. Đặt $BC = x \Rightarrow AB = 3x$
Gọi I là trung điểm BC
$\begin{array}{l}
\Rightarrow BI = \frac{x}{2} \Leftrightarrow AI = \sqrt {A{B^2} - B{I^2}} = \frac{{x\sqrt {35} }}{2}\\
\Rightarrow \tan \widehat {ABC} = \frac{{{b^2}}}{{4\left| a \right|}}\sqrt { - \frac{{2a}}{b}} = 2{m^2}\sqrt {\frac{1}{m}} = \frac{{AI}}{{BI}} = \sqrt {35} \\
\Leftrightarrow m = \sqrt[3]{{\frac{{35}}{{4}}}}
\end{array}$.

 

[Hồng Nhật]

ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hàm số $y=2{{x}^{4}}-4m{{x}^{2}}+1$. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho tam giác ABC:
a, Là tam giác đều.
b, Là tam giác vuông.
c, Là tam giác có một góc bằng ${{120}^{o}}$.
d, Có cạnh bên gấp ba lần cạnh đáy.
e, Có diện tích bằng 1.
f, Có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

e làm được ko hở anh???
à mà em nhớ mấy dạng này có công thức tính nhanh anh nhỉ??? lúc em ôn thi cũng có làm qua mấy bài rồi!!! ^^

 

[thangnguyenst95]

e làm được ko hở anh???
à mà em nhớ mấy dạng này có công thức tính nhanh anh nhỉ??? lúc em ôn thi cũng có làm qua mấy bài rồi!!! ^^

Công thức tính cho từng trường hợp thì có e à nhưng mà nhớ hết như thế thì chết . Nên chỉ cần nhớ cái góc và diện tích kia là đủ rồi .

 

[huuthuyenrop2]

ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hàm số $y=2{{x}^{4}}-4m{{x}^{2}}+1$. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho tam giác ABC:
a, Là tam giác đều.
b, Là tam giác vuông.
c, Là tam giác có một góc bằng ${{120}^{o}}$.
d, Có cạnh bên gấp ba lần cạnh đáy.
e, Có diện tích bằng 1.
f, Có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

trình bày hay ghi công thức ra anh

 

[thangnguyenst95]

trình bày hay ghi công thức ra anh

áp dụng vào công thức thôi e à.

 

[Dương Hà Bảo Ngọc]

Cực trị hàm trùng phương là một vấn đề quen thuộc trong các đề thi. Người ra đề có thể “bịa” rất nhiều câu hỏi khác nhau về vấn đề này. Ở đây mình chỉ đề cập tới một số vấn đề hay gặp nhất. Mọi người đóng góp thêm để chủ đề đầy đủ hơn nhé.
1. Cơ sở lý thuyết:
Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$.

TXĐ: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y'=4a{{x}^{3}}+2bx$.

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

& x=0 \\

& {{x}^{2}}=-\frac{b}{2a} \\

\end{align} \right.$

2. Một số kết quả đáng nhớ.
View attachment 23276
a, Đồ thị hàm số luôn có ít nhất một cực trị tại điểm $A\left( 0,c \right)$.

b, Điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị: $-\frac{b}{2a}>0$ ($a,b$ trái dấu) (1) .

c, Khi hàm số thỏa mãn điều kiện (1), thì 3 điểm cực trị của hàm số tạo thành một tam giác cân ABC, cân tại $A\left( 0,c \right)$. Ta sẽ chứng minh được một số kết quả thú vị sau:
- $\tan \alpha =\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|}\sqrt{-\frac{2a}{b}}$ với $\alpha =\widehat{ABC}$.

- ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|}\sqrt{-\frac{b}{2a}}$ .

- $R=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

(bạn đọc tự chứng minh các công thức trên nhé)

em ko hỉu cho lắm

 

[thangnguyenst95]

em ko hỉu cho lắm

Thế mới có phần bạn đọc tự chứng minh đó em. Vì chứng minh các công thức này khá đơn giản

 

[thangnguyenst95]

em ko hỉu cho lắm

em đọc thêm phần bài tập áp dụng nhé

 

[Dương Hà Bảo Ngọc]

dạ em biết rồi ạ cảm ơn ah nha