Cho tam giác có 3 góc A,B,C thoả mãn:
Chứng minh tam giác ABC đều
đại số hoá
đặt [TEX]u=tan\frac{A}{2},v=tan\frac{B}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow cosA=\frac{1-u^2}{1+u^2},cosB=\frac{1-v^2}{1+v^2}[/TEX]
hệ ban đầu trở thành
[TEX]\left{\begin{u+v=\frac{2\sqrt[]{3}}{3}}\\{\frac{1-u^2}{1+u^2}+\frac{1-v^2}{1+v^2}=1}[/TEX]
[TEX]\left{\begin{u+v=\frac{2\sqrt[]{3}}{3}}\\{(1-u^2)(1+v^2)+(1-v^2)(1+u^2)=(1+u^2)(1+v^2)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{u+v=\frac{2\sqrt[]{3}}{3}}\\{3u^2v^2+u^2+v^2-1=0}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{u+v=\frac{2}{\sqrt[]{3}} (1)}\\{3u^2v^2-2uv+(u+v)^2-1=0 (2)} [/TEX]
thế [TEX](1)[/TEX] vào [TEX](2)[/TEX] có [TEX]3u^2v^2-2uv+\frac{1}{3}=0 \Leftrightarrow 9u^2v^2-6uv+1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (3uv-1)^2=0 \Rightarrow uv=\frac{1}{3} \Rightarrow u=\frac{1}{3v}[/TEX]
thay vào [TEX](1)[/TEX] có [TEX]\frac{1}{3v}+v=\frac{2\sqrt[]{3}}{3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1+3v^2=2\sqrt[]{3}v \Leftrightarrow (\sqrt[]{3}v-1)^2=0 \Rightarrow v=\frac{1}{\sqrt[]{3}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow tan\frac{B}{2}=\frac{1}{\sqrt[]{3}}=tan\frac{A}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]A=B=C=60^o[/TEX] \Rightarrow tam giác ABC đều (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
