Giải hệ pt

[pigletu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

(x, y

)

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

(x, y

)

lây phương trình đầu trừ phương trình sau vế theo vế
[TEX]\Rightarrow x^3-y^3-(x-y)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-1)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=y[/TEX]

 

[tuyn]

lây phương trình đầu trừ phương trình sau vế theo vế
[TEX]\Rightarrow x^3-y^3+(x-y)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x-y)(x^2-xy+y^2+1)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=y[/TEX]

Sai rồi:
PT thứ 2 phải là: [TEX](x-y)(x^2-xy+y^2-1)=0[/TEX]
Quan trọng nhất là cái PT này: [TEX]x^2-xy+y^2-1=0[/TEX]

 

[nerversaynever]

(x, y

)

[TEX]hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {x^2 + xy + y^2 - 1} \right) = 0 \\ x^3 + y^3 + x + y = 4 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} x = y \\ x^3 + x = 2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2+ xy + y^2 = 1 \\ x^3 + y^3 + x + y = 4 \\\end{array} \right. \\ \end{array} \right.[/TEX]


Hệ thứ 2 vô nghiệm vì
Giả sử [TEX]x \le y[/TEX]
Nếu [TEX]x \le 0 = > y \ge 2[/TEX] do đó
[TEX]x^2 + xy + y^2 = \left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}y^2 > 1[/TEX]
Nếu [TEX]x > 0 = > y \ge 1[/TEX] và từ pt thứ (2) ta có
[TEX]\left( {x + y} \right)\left( {x^2 - xy + y^2 + 1} \right) = 4 = > x + y > 0[/TEX]
suy ra [TEX]x^2 + xy + y^2 = x\left( {x + y} \right) + y^2 > 1[/TEX]

 

[tuyn]

[TEX]hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {x^2 + xy + y^2 - 1} \right) = 0 \\ x^3 + y^3 + x + y = 4 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} x = y \\ x^3 + x = 2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x^2+ xy + y^2 = 1 \\ x^3 + y^3 + x + y = 4 \\\end{array} \right. \\ \end{array} \right.[/TEX]


Hệ thứ 2 vô nghiệm vì
Giả sử [TEX]x \le y[/TEX]
Nếu [TEX]x \le 0 = > y \ge 2[/TEX] do đó
[TEX]x^2 + xy + y^2 = \left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}y^2 > 1[/TEX]
Nếu [TEX]x > 0 = > y \ge 1[/TEX] và từ pt thứ (2) ta có
[TEX]\left( {x + y} \right)\left( {x^2 - xy + y^2 + 1} \right) = 4 = > x + y > 0[/TEX]
suy ra [TEX]x^2 + xy + y^2 = x\left( {x + y} \right) + y^2 > 1[/TEX]

x > 0 sao lại suy ra được y \geq 1.Tớ chỉ suy ra được [TEX]y \leq \sqrt[3]{2}[/TEX] hoặc y \leq 2 mà thôi
Bạn giải thích kỹ hơn được không

 

[nerversaynever]

x > 0 sao lại suy ra được y \geq 1.Tớ chỉ suy ra được [TEX]y \leq \sqrt[3]{2}[/TEX] hoặc y \leq 2 mà thôi
Bạn giải thích kỹ hơn được không

bởi vì ta giả sử x<=y nên nếu y<1 thì ta sẽ có x^3+y<2

 

[duynhan1]

(x, y

)

Trường hợp :
[TEX]x^2+xy+y^2 =1[/TEX] có thể chứng minh vô nghiệm như sau:
Ta có : [TEX]1 = x^2 + y^2 + xy \ge 3xy \Rightarrow xy \le \frac13[/TEX]

[TEX]4 = x^3 + y^3 + x + y = ( x+y)(2-2xy) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 16 = ( x+y)^2 ( 2 - 2xy)^2 = 16. (x+y)^2. \ \frac{1-xy}{2}\ . \ \frac{1-xy}{2} \le 16 . ( \frac{1 + x^2+y^2 + xy}{3} )^3 < 16 (vo\ ly)[/TEX]

 

[01263812493]

Trường hợp :
[TEX]x^2+xy+y^2 =1[/TEX] có thể chứng minh vô nghiệm như sau:
Ta có : [TEX]1 = x^2 + y^2 + xy \ge 3xy \Rightarrow xy \le \frac13[/TEX]

[TEX]4 = x^3 + y^3 + x + y = ( x+y)(2-2xy) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 16 = ( x+y)^2 ( 2 - 2xy)^2 = 16. (x+y)^2. \ \frac{1-xy}{2}\ . \ \frac{1-xy}{2} \le 16 . ( \frac{1 + x^2+y^2 + xy}{3} )^3 < 16 (vo\ ly)[/TEX]

Anh ơi hình như chưa biết x,y âm hay dương sao sử dụng Cauchy dc ạ :| :-??

Em để ý điều kiện giúp anh cái
Anh co-si cho số dương hết mà ^^