Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}=n \\
\sqrt{x_1+8}+\sqrt{x_2+8}+...+\sqrt{x_n+8}=3n
\end{cases}$$
Điều kiện để mấy cái căn có nghĩa là $ \displaystyle x_i \ge 0 $ với $ \displaystyle i=\overline{1,n} $.
Hệ phương trình ban đầu tương đương với
$$\begin{cases}
\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+8}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_2+8}+...+\sqrt{x_n}+\sqrt{x_n+8}=4n \\
\sqrt{x_1+8}-\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2+8}-\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n+8}-\sqrt{x_n}=2n
\end{cases}$$
Bây giờ đặt $ \displaystyle u_i=\sqrt{x_i}+\sqrt{x_i+8} \ge \sqrt{8} > 0 $ với $ \displaystyle i=\overline{1,n} $.
Suy ra
$$ \sqrt{x_i+8}-\sqrt{x_i}=\frac{8}{u_i} $$
Vậy hệ phương trình đề bài trở thành
$$\begin{cases}
u_1+u_2+\ldots +u_n =4n \\
\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\ldots+\frac{1}{u_n}=
\frac{n}{4}
\end{cases}$$
Thấy
$$ \left(u_1+u_2+\ldots +u_n \right) \left( \frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\ldots+\frac{1}{u_n} \right) = n^2$$
Mà theo bất đẳng thức AM-GM thì
$$ \left(u_1+u_2+\ldots +u_n \right) \left( \frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\ldots+\frac{1}{u_n} \right) \ge n^2$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$$ u_1=u_2=\ldots=u_n=4 $$
Hay
$$ x_1=x_2=\ldots=x_n=1 $$
Đó chính là nghiệm của hệ phương trình đề bài .
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn