Toán giải hệ phương trình vô tỉ (HSG)

[Lê Linh Phong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]a)\left\{\begin{matrix} (x+1)\sqrt{x+2}+3\sqrt{x+2}=y\^{3} +3y^{2}+5y+3\\x^{3} +2x^{2}+x-7y^{2}-14y+19=3\sqrt[3]{9(y+1)^{2}} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]b) \left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+2(y+1)^{2}=6\\ 3x^{2}-2x-5+2x\sqrt{x^{2}+1}=(y+1) \sqrt{4y^{2}+8y+8} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]c) \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2\\ 12y^{2}-10y+2=2\sqrt[3]{x^{3}+1} \end{matrix}\right.[/tex]

các bài này dùng phương pháp hàm số để giải
[tex]a)\left\{\begin{matrix} (x+1)\sqrt{x+2}+3\sqrt{x+2}=y\^{3} +3y^{2}+5y+3 (1)\\x^{3} +2x^{2}+x-7y^{2}-14y+19=3\sqrt[3]{9(y+1)^{2}} (2)\end{matrix}\right.[tex] [tex](1)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}.[(\sqrt{x+2})^{2}+2]=(y+1)[(y+1)^{2}+2][/tex]
Đặt f(t)=t(t^{2}+2)
f{t}'=3t^{2}+2> 0
\Rightarrow f(t) đồng biến
\Rightarrow \sqrt{x+2}=y+1
Thay vào (2) ta được x^{3}+2x^{2}-6x+12=\sqrt[3]{9(x+2)}

Tới đây mình ko giải được nữa, mọi người giúp mình nửa câu a còn lại và câu b,c với

 

[thangnguyenst95]

[tex]a)\left\{\begin{matrix} (x+1)\sqrt{x+2}+3\sqrt{x+2}=y\^{3} +3y^{2}+5y+3\\x^{3} +2x^{2}+x-7y^{2}-14y+19=3\sqrt[3]{9(y+1)^{2}} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]b) \left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+2(y+1)^{2}=6\\ 3x^{2}-2x-5+2x\sqrt{x^{2}+1}=(y+1) \sqrt{4y^{2}+8y+8} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]c) \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2\\ 12y^{2}-10y+2=2\sqrt[3]{x^{3}+1} \end{matrix}\right.[/tex]

các bài này dùng phương pháp hàm số để giải
[tex]a)\left\{\begin{matrix} (x+1)\sqrt{x+2}+3\sqrt{x+2}=y\^{3} +3y^{2}+5y+3 (1)\\x^{3} +2x^{2}+x-7y^{2}-14y+19=3\sqrt[3]{9(y+1)^{2}} (2)\end{matrix}\right.[tex] [tex](1)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}.[(\sqrt{x+2})^{2}+2]=(y+1)[(y+1)^{2}+2][/tex]
Đặt f(t)=t(t^{2}+2)
f{t}'=3t^{2}+2> 0
\Rightarrow f(t) đồng biến
\Rightarrow \sqrt{x+2}=y+1
Thay vào (2) ta được x^{3}+2x^{2}-6x+12=\sqrt[3]{9(x+2)}

Tới đây mình ko giải được nữa, mọi người giúp mình nửa câu a còn lại và câu b,c với

\[\begin{align}

& (2)\Leftrightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}=\frac{2}{y+\sqrt{{{y}^{2}}+1}}=2.(-y+\sqrt{{{y}^{2}}-1}) \\

& \Leftrightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}=(-2y)+\sqrt{{{(-2y)}^{2}}+4} \\

& \\

& \\

& \\

\end{align}\]

Xét hàm f(t)= $t+\sqrt{{{t}^{2}}+4},t\in R$

$f'(t)=\frac{t}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}+1=\frac{t+\sqrt{{{t}^{2}}+4}}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}>\frac{t+|t|}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}\ge 0$

Vậy hàm số đồng biết trên R.

f()=f(-2y) $\Leftrightarrow x=-2y$

Thay vào pt (2)

\[\begin{align}

& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+5x+2=2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

& \Leftrightarrow {{(x+1)}^{3}}+2(x+1)=({{x}^{3}}+1)+2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

\end{align}\]

Xét hàm

$\begin{align}

& g(t)={{t}^{3}}+2t,t\in R. \\

& g'(t)=3{{t}^{2}}+2. \\

\end{align}$

Hàm số đồng biến trên R.

g(x+1)=$g(\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1})$

$\begin{align}

& \Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x=0 \\

& \Leftrightarrow 3x(x+1)=0 \\

& \\

\end{align}$

X= 0 hoặc x=-1. Từ đó tìm ra y$$

 

[Quân Nguyễn 209]

\[\begin{align}

& (2)\Leftrightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}=\frac{2}{y+\sqrt{{{y}^{2}}+1}}=2.(-y+\sqrt{{{y}^{2}}-1}) \\

& \Leftrightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}=(-2y)+\sqrt{{{(-2y)}^{2}}+4} \\

& \\

& \\

& \\

\end{align}\]

Xét hàm f(t)= $t+\sqrt{{{t}^{2}}+4},t\in R$

$f'(t)=\frac{t}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}+1=\frac{t+\sqrt{{{t}^{2}}+4}}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}>\frac{t+|t|}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}\ge 0$

Vậy hàm số đồng biết trên R.

f()=f(-2y) $\Leftrightarrow x=-2y$

Thay vào pt (2)

\[\begin{align}

& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+5x+2=2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

& \Leftrightarrow {{(x+1)}^{3}}+2(x+1)=({{x}^{3}}+1)+2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

\end{align}\]

Xét hàm

$\begin{align}

& g(t)={{t}^{3}}+2t,t\in R. \\

& g'(t)=3{{t}^{2}}+2. \\

\end{align}$

Hàm số đồng biến trên R.

g(x+1)=$g(\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1})$

$\begin{align}

& \Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x=0 \\

& \Leftrightarrow 3x(x+1)=0 \\

& \\

\end{align}$

X= 0 hoặc x=-1. Từ đó tìm ra y$$

Mấy bài này giải bằng pp THCS được ko a nhỉ @thangnguyenst95

 

[thangnguyenst95]

có

Mấy bài này giải bằng pp THCS được ko a nhỉ @thangnguyenst95[/USER
3 bài này thì không e nhaa^^

 

[Quân Nguyễn 209]

có

Nếu nghiệm đẹp như thế này thì e có nên dùng liên hợp ngược dấu hay đánh giá hàm số ko ạ ? :v
Kiểu như thế [tex]y=1000[/tex] vào pt 1 r tìm liên hệ [tex]x,y[/tex] ý a :v
P/s: 98% phần cmt của a vô box r a sửa lại đi ^^

 

[kingsman(lht 2k2)]

\[\begin{align}

& (2)\Leftrightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}=\frac{2}{y+\sqrt{{{y}^{2}}+1}}=2.(-y+\sqrt{{{y}^{2}}-1}) \\

& \Leftrightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}=(-2y)+\sqrt{{{(-2y)}^{2}}+4} \\

& \\

& \\

& \\

\end{align}\]

Xét hàm f(t)= $t+\sqrt{{{t}^{2}}+4},t\in R$

$f'(t)=\frac{t}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}+1=\frac{t+\sqrt{{{t}^{2}}+4}}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}>\frac{t+|t|}{\sqrt{{{t}^{2}}+4}}\ge 0$

Vậy hàm số đồng biết trên R.

f()=f(-2y) $\Leftrightarrow x=-2y$

Thay vào pt (2)

\[\begin{align}

& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+5x+2=2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

& \Leftrightarrow {{(x+1)}^{3}}+2(x+1)=({{x}^{3}}+1)+2\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

\end{align}\]

Xét hàm

$\begin{align}

& g(t)={{t}^{3}}+2t,t\in R. \\

& g'(t)=3{{t}^{2}}+2. \\

\end{align}$

Hàm số đồng biến trên R.

g(x+1)=$g(\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1})$

$\begin{align}

& \Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \\

& \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x=0 \\

& \Leftrightarrow 3x(x+1)=0 \\

& \\

\end{align}$

X= 0 hoặc x=-1. Từ đó tìm ra y$$

cách này là cái giải hệ gì vậy anh ?
có giải là đặt ẩn phụ bằng hàm số ko anh ....

 

[thangnguyenst95]

cách này là cái giải hệ gì vậy anh ?
có giải là đặt ẩn phụ bằng hàm số ko anh ....

Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số e nhé. Đăt ẩn phụ ko giải đước em ạ

 

[thangnguyenst95]

[tex]a)\left\{\begin{matrix} (x+1)\sqrt{x+2}+3\sqrt{x+2}=y\^{3} +3y^{2}+5y+3\\x^{3} +2x^{2}+x-7y^{2}-14y+19=3\sqrt[3]{9(y+1)^{2}} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]b) \left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+2(y+1)^{2}=6\\ 3x^{2}-2x-5+2x\sqrt{x^{2}+1}=(y+1) \sqrt{4y^{2}+8y+8} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]c) \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2\\ 12y^{2}-10y+2=2\sqrt[3]{x^{3}+1} \end{matrix}\right.[/tex]

các bài này dùng phương pháp hàm số để giải
[tex]a)\left\{\begin{matrix} (x+1)\sqrt{x+2}+3\sqrt{x+2}=y\^{3} +3y^{2}+5y+3 (1)\\x^{3} +2x^{2}+x-7y^{2}-14y+19=3\sqrt[3]{9(y+1)^{2}} (2)\end{matrix}\right.[tex] [tex](1)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}.[(\sqrt{x+2})^{2}+2]=(y+1)[(y+1)^{2}+2][/tex]
Đặt f(t)=t(t^{2}+2)
f{t}'=3t^{2}+2> 0
\Rightarrow f(t) đồng biến
\Rightarrow \sqrt{x+2}=y+1
Thay vào (2) ta được x^{3}+2x^{2}-6x+12=\sqrt[3]{9(x+2)}

Tới đây mình ko giải được nữa, mọi người giúp mình nửa câu a còn lại và câu b,c với

Câu b nhé
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 1} \right)^2} + 2{\left( {y + 1} \right)^2} = 6\\
3{x^2} - 2x - 5 + 2x\sqrt {{x^2} + 1} = \left( {y + 1} \right)\sqrt {4{y^2} + 8y + 8}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{\left( {y + 1} \right)^2} = 6 - {\left( {x - 1} \right)^2}\\
{\left( {x - 1} \right)^2} + 2{x^2} - 6 + 2x\sqrt {{x^2} + 1} = \left( {y + 1} \right)\sqrt {4{y^2} + 8y + 8}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{\left( {y + 1} \right)^2} = 6 - {\left( {x - 1} \right)^2}\\
2{x^2} + 2x\sqrt {{x^2} + 1} = 2{\left( {y + 1} \right)^2} + 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 1}
\end{array} \right.
\end{array}$
Xét hàm số
$\begin{array}{l}
f\left( t \right) = {t^2} + t\sqrt {{t^2} + 1} ,\left( {t \in R} \right)\\
\Rightarrow f'\left( t \right) = 2t + \sqrt {{t^2} + 1} + \frac{{{t^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} \ge 2t + 2\left| t \right| \ge 0
\end{array}$
Suy ra hàm đồng biến trên R. Suy ra $x = y + 1$
Thế vào pt 1. Bài toán đã trở nên đơn giản nhé