Giải hệ phương trình [ toán 9 ]

[nhahangtuan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

BÀi 6 : Giải hệ pt :

$ \begin{array}{l}
xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\\
x\sqrt {2y} - y\sqrt {x - 1} = 2x - 2y
\end{array} (x,y \in R) $

Bài 7 : Giải hệ pt :
$ \int \begin{array}{l}
{y^2} = (5x + 4)(4 - x)\\
{y^2} - 5{x^2} - 4xy + 16x - 8y + 16 = 0
\end{array} $

BÀi 9 : Giải hệ pt :
$ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{3}{z} = - 2\\
\frac{4}{{xy}} - \frac{3}{{{z^2}}} - \frac{2}{y} = 3
\end{array} \right\} $
Bài 10 : Giải pt :
$$ \int \begin{array}{l}
\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 3\\
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 + \sqrt[3]{{xyz}})
\end{array} $$
Bài 14 giải hệ pt
$$ \int \begin{array}{l}
16{x^2}{y^2} - 17{y^2} = - 1\\
4xy + 2x - 7y = - 1
\end{array} $$
Bài 15 Giải hệ pt
$$ \int \begin{array}{l}
{x^2} + 2x + {y^2} + y = 3 - xy\\
xy + x + 2y = 1
\end{array} $$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 10 đề phải là $(1+x)(1+y)(1+z)=(1+\sqrt[3]{xyz})^3$ chứ.

Từ PT1 suy ra $x,y,z \ge 0$

Từ PT2 suy ra $x=y=z$, cái này quên cách chứng minh rồi

 

[mua_sao_bang_98]

BÀi 6 : Giải hệ pt :

$ \left\{\begin{matrix} xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\\ x\sqrt{2y} - y\sqrt{x - 1} = 2x - 2y \end{matrix}\right. (x,y \in R) $

Bài 7 : Giải hệ pt :

$ \left\{\begin{matrix} {y^2} = (5x + 4)(4 - x)\\ {y^2} - 5{x^2} - 4xy + 16x - 8y + 16 = 0 \end{matrix}\right. $

BÀi 9 : Giải hệ pt :
$ \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{3}{z} = - 2\\ \frac{4}{{xy}} - \frac{3}{{{z^2}}} - \frac{2}{y} = 3 \end{matrix}\right. $

Bài 10 : Giải hpt :
$ \left\{\begin{matrix} \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 3\\(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 + \sqrt[3]{{xyz}}) \end{matrix}\right.$

Bài 14 giải hệ pt
$\left\{\begin{matrix} 16{x^2}{y^2} - 17{y^2} = - 1\\4xy + 2x - 7y = - 1 \end{matrix}\right.$

Bài 15 Giải hệ pt
$\left\{\begin{matrix} {x^2} + 2x + {y^2} + y = 3 - xy\\xy + x + 2y = 1 \end{matrix}\right.$

Ý em là thế đó hả?

 

[buivanbao123]

9)Anh nhớ ko nhầm thì có bất đẳng thức này anh ko nhớ tên của nó
(1+x)(1+y)(1+z) \geq $(1+\sqrt[3]{xyz})^3$
Dấu = xảy ra khi x=y=z
Thế vào phương trình 1 ta có $3\sqrt{x}=3$ \Leftrightarrow x=1
Tương tự tính được y=1 và z=1
Vậy hệ có nghiệm (x,y,z)=(1,1,1)

 

[huynhbachkhoa23]

9)Anh nhớ ko nhầm thì có bất đẳng thức này anh ko nhớ tên của nó
(1+x)(1+y)(1+z) \geq $(1+\sqrt[3]{xyz})^3$
Dấu = xảy ra khi x=y=z
Thế vào phương trình 1 ta có $3\sqrt{x}=3$ \Leftrightarrow x=1
Tương tự tính được y=1 và z=1
Vậy hệ có nghiệm (x,y,z)=(1,1,1)

Cái này chứng minh bằng Cauchy:

$(1+x)(1+y)(1+z)=xyz+\sum xy +\sum x +1 \ge xyz +3\sqrt{xyz}^2+3\sqrt{xyz}+1=(1+\sqrt[3]{xyz})^3$

Chứng minh bằng Holder sẽ có trực tiếp.

 

[forum_]

Bài 14 giải hệ pt
$\left\{\begin{matrix} 16{x^2}{y^2} - 17{y^2} = - 1\\4xy + 2x - 7y = - 1 \end{matrix}\right.$

Hướng rút $x = \dfrac{-1+7y}{4y+2}$

Thay vào PT(1)

..............................

 

[thinhrost1]

Làm đầy đủ bài 10 lại:

Nếu: $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3(1) & & \\
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 + \sqrt[3]{{xyz}}) & &
\end{matrix}\right.$


Thì từ (1) ta có: $x,y,z \ge0$

Từ (2): $1+xy+yz+xz+x+y+z+xyz \ge 1+ \sqrt[3]{xyz}$

Dấu bằng xảy ra ở 2 khi $x=y=z=0$ nhưng không thỏa mãn (1)

Vậy pt vô nghiệm.

Nếu đề bài viết lại thành:

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3(1) & & \\
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 + \sqrt[3]{{xyz}})^3(2) & &
\end{matrix}\right.$

Tương tự từ (1) suy ra: $x,y,z \ge0$

Mặt khác:

$\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}\ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}}\\\dfrac{x}{1+x}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\ge \dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}}$

Cộng vế theo vế ta được:

$3 \ge 3(\dfrac{1+\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}}) \Leftrightarrow (1 + x)(1 + y)(1 + z) \geq (1 + \sqrt[3]{{xyz}})^3$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$

Kết hợp với (1), ta tìm được nghiệm $x=y=z=1$

P/s: Cách chứng minh trên có thể mở rộng cho n số, và BDT trên là hệ quả của BDT quen thuộc Holder( có lẽ là lạ ) )

 

[mua_sao_bang_98]

Bài 7: $\left\{\begin{matrix} y^2=(5x+4)(4-x) \\ y^2-5x^2-4xy +16x-8y+16=0 \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} y^2=-5x^2+16x+16 \\ y^2 - 5x^2-4xy+16x-8y+16=0 \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} y^2+5x^2-16x-16=0 (1)\\ y^2 - 5x^2-4xy+16x-8y+16=0 (2) \end{matrix}\right.$

(1)+(2), ta có: $2y^2-4xy-8y=0$

\Leftrightarrow $y(y-2x-4)=0$

\Leftrightarrow $\left[\begin{matrix} y=0 \\ y=2x+4 \end{matrix}\right.$

Thay vào (1) \Rightarrow x=? \Rightarrow y=?

 

[demon311]

Có nhiều câu giống với bên này: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=364596&page=2

 

[mua_sao_bang_98]

Bài 15: hpt \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix} x^2+2x+y^2+y+xy-3=0(1) \\ x(y+1)=1-2y (2) \end{matrix}\right.$

Ta thấy y=-1 không là nghiệm của hệ pt \Rightarrow (2) \Leftrightarrow $x=\frac{1-2y}{y+1}$ Thay vào (1), ta đc pt:

(1)\Leftrightarrow $(\frac{1-2y}{y+1})^2+2\frac{1-2y}{y+1}+y^2+y=3-\frac{1-2y}{y+1}.y$

Quy đồng rút gọn ta đc pt: $y^4+y^3+2y^2-4y=0$

\Leftrightarrow $\left[\begin{matrix} y=0 \\ y=1 \end{matrix}\right.$ Thay trở lại pt (2) ta được nghiệm:

(x;y) = {(1;0);(-3;0);(-1/2;1)}

 

[mua_sao_bang_98]

Bài 14: $\left\{\begin{matrix}16x^2y^2-17y^2=-1 (1) \\ 4xy+2x-7y=-1 (2) \end{matrix}\right.$

Có (x;y)=(0;0) là một nghiệm của hệ pt.

em tự rút x ở (2) thế vào (1) nhé!

đc pt: $128y^4-124y^3-9y^2+4y+1=0$

\Leftrightarrow $y=1$\Rightarrow x=1

Vậy hệ pt có 2 nghiệm.

(Chị làm tắt thử lại x,y vào xem có đúng không nhé! )

 

[nhahangtuan]

VÂng

BÀi 6 : Giải hệ pt :

$ \left\{\begin{matrix} xy + x + y = {x^2} - 2{y^2}\\ x\sqrt{2y} - y\sqrt{x - 1} = 2x - 2y \end{matrix}\right. (x,y \in R) $

Bài 7 : Giải hệ pt :

$ \left\{\begin{matrix} {y^2} = (5x + 4)(4 - x)\\ {y^2} - 5{x^2} - 4xy + 16x - 8y + 16 = 0 \end{matrix}\right. $

BÀi 9 : Giải hệ pt :
$ \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{3}{z} = - 2\\ \frac{4}{{xy}} - \frac{3}{{{z^2}}} - \frac{2}{y} = 3 \end{matrix}\right. $

Bài 10 : Giải hpt :
$ \left\{\begin{matrix} \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 3\\(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 + \sqrt[3]{{xyz}}) \end{matrix}\right.$

Bài 14 giải hệ pt
$\left\{\begin{matrix} 16{x^2}{y^2} - 17{y^2} = - 1\\4xy + 2x - 7y = - 1 \end{matrix}\right.$

Bài 15 Giải hệ pt
$\left\{\begin{matrix} {x^2} + 2x + {y^2} + y = 3 - xy\\xy + x + 2y = 1 \end{matrix}\right.$

Ý em là thế đó hả?

Đúng rồi ! ý la` thế
Vì ko tìm thấy cái dấu hệ pt trong Mathtype nên chọn cái dấu đó .

 

[nhahangtuan]

O đau ra đây ?

Bài 14: $\left\{\begin{matrix}16x^2y^2-17y^2=-1 (1) \\ 4xy+2x-7y=-1 (2) \end{matrix}\right.$

Có (x;y)=(0;0) là một nghiệm của hệ pt.

em tự rút x ở (2) thế vào (1) nhé!

đc pt: $128y^4-124y^3-9y^2+4y+1=0$

\Leftrightarrow $y=1$\Rightarrow x=1

Vậy hệ pt có 2 nghiệm.

(Chị làm tắt thử lại x,y vào xem có đúng không nhé! )

Tự nhiên lấy đâu ra : (x;y)=(0;0) là một nghiệm của hệ pt. ( cái này ở đâu ra ? )
Ma` hinh` như rút x ra sai thy` phải ? Chị làm tắt quá -- em khó ma` suy nghĩ duoc ? làm kỹ kỹ giùm e chút đy chị !

 

[demon311]

mua nói nhầm đó, (x;y)=0 không phải là nghiệm cuả hệ

 

[mua_sao_bang_98]

Tự nhiên lấy đâu ra : (x;y)=(0;0) là một nghiệm của hệ pt. ( cái này ở đâu ra ? )
Ma` hinh` như rút x ra sai thy` phải ? Chị làm tắt quá -- em khó ma` suy nghĩ duoc ? làm kỹ kỹ giùm e chút đy chị !

Ờ đúng rồi! bỏ (x,y)=(0;0) đi e nhé!

OK! em cứ thử rút ra rồi thế vào viết lên đây chị xem nào (hoặc chụp ảnh up lên đây)? Chứ h chị ngại quá! Như vậy cho e luyện kĩ năng nhé! ^^

 

[nhahangtuan]

Kêt quả

Ờ đúng rồi! bỏ (x,y)=(0;0) đi e nhé!

OK! em cứ thử rút ra rồi thế vào viết lên đây chị xem nào (hoặc chụp ảnh up lên đây)? Chứ h chị ngại quá! Như vậy cho e luyện kĩ năng nhé! ^^

Em làm theo cách khác mà ko bit đúng hay sai -- chị coi dum` e nha !
Bài 14 :
Th 1 :
từ pt (1)
(4xy)^2-(4y)^2+y^2-1=0
* (4xy-4y)(4xy+4y)=0
* (1-y)(1+y)=0
<=>x=1
x=-1

Th2 : (1-y)(1-x)=0
* 1-y=0 =>y=1
* 1+y=0 =>y=-1.
( khỏi thế vô pt 2 tự nhiên nó tính ra y luôn ? )
Khôgn bit đung hay ko nữa mà em thế vô pt thy` thấy nó thõa mãn với đề bài ? Chị coi lạm gium` em