- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Các hệ phương trình dạng này, ta phải phân tích 2 vế của một phương trình về cùng dạng hàm. Khi đó phương trình trở thành: [TEX]f(u)=f(v)[/TEX]. Với hàm f là một hàm đơn điệu ( ĐB hoặc NB trên R ). Khi đó, phương trình sẽ có nghiệm duy nhất u=v. Với kiến thức lớp 10, thì ta chuyển vế phân tích nhân tử, sẽ có nhân tử u-v, nhân tử còn lại thì vô nghiệm. Dưới đây là 1 số ví dụ minh họa:
1. Giải hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} (x-1)(x^2-2x+4)=y^3+3y\\ 2\sqrt{2x-y}-13=x^2+5y \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: Ở đây ta biến đổi phương trình (1), bằng cách nhân phá và sử dụng hằng đẳng thức:
[TEX]x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y<=>(x-1)^3+3(x-1)=y^3+3y[/TEX]
Ta thấy 2 vế của phương trình cùng dạng hàm [TEX]f(u)=u^3+3u[/TEX], hàm này ĐB trên R, nên phương trình có nghiệm duy nhất [TEX]x-1=y[/TEX]. Thực hiện chuyển vế để phân tích:
[TEX](x-1)^3-y^3+3(x-1)-3y=0<=>(x-1-y)[(x-1)^2+(x-1)y+y^2]+3(x-1-y)=0<=>(x-1-y)[(x-1)^2+(x-1)y+y^2+3]=0[/TEX]
<=>[TEX]x=y+1[/TEX] hoặc [TEX](x-1)^2+(x-1)y+y^2+3=0[/TEX]
Phương trình còn lại dễ dàng chứng minh vô nghiệm, vì [TEX](x-1)^2+(x-1)y+y^2[/TEX] là một bình phương thiếu, nên luôn luôn không âm.
Thay x=y+1 vào phương trình còn lại ta được:
[tex]2\sqrt{y+2}-12=y^2+7y+1<=>y+2+2\sqrt{y+2}+1=y^2+8y+16<=>(\sqrt{y+2}+1)^2=(y+4)^2[/tex]
<=>[TEX]\sqrt{y+2}+1=y+4[/TEX] hoặc [TEX]\sqrt{y+2}+1=-y-4[/TEX]
2 phương trình này dễ dàng giải được bằng cách bình phương 2 vế. Ta có 2 phương trình đều vô nghiệm, vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Nhận xét : đặc trưng của dạng này thường sẽ là một phương trình mà 2 vế là một hàm bậc ba ( đây là dạng hàm thường gặp nhất ). Khi đó ta sẽ cố gắng thêm bớt sao cho hằng đẳng thức của lập phương xuất hiện, phần còn lại sẽ tự động khớp với nhau.
2. Giải hệ : [tex]\left\{\begin{matrix} x(x^2+3y^2+5)=y(2y^2+3x^2+10)\\ \frac{3y}{x}\sqrt{4x+2y-1}+6x^2=6x+2y+2 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: Điều kiện: [TEX]4x+2y-1 \geq 0 , x \neq 0[/TEX]
Ở phương trình (1) nhận thấy 2 vế đều đang có bậc 3, ta thực hiện biến đổi về HĐT:
[TEX]x^3+3xy^2+5x=2y^3+3x^2y+10y<=>x^3-3x^2y+3xy^2-y^3+5x=y^3+10y[/TEX]
<=>[TEX](x-y)^3+5(x-y)=y^3+5y[/TEX]
Ở 2 vế xuất hiện dạng hàm [TEX]f(u)=u^3+5u[/TEX], chuyển vế để phân tích nhân tử tương tự như câu 1:
[TEX](x-2y)[(x-y)^2+(x-y)y+y^2+5]=0<=>x=2y[/TEX]
Thay x=2y vào phương trình (2) ta được: [tex]\frac{3}{2}\sqrt{5x-1}+6x^2=7x+2[/tex] (*)
Trở về dạng phương trình liên hợp, nhẩm nghiệm thấy x=1 là nghiệm :
[tex](*)<=>3(\sqrt{5x-1}-2)+2(6x^2-7x+1)=0<=>3\frac{5x-5}{\sqrt{5x-1}+2}+2(6x-1)(x-1)=0[/tex]
<=>[tex](x-1)[\frac{15}{\sqrt{5x-1}+2}+2(6x-1)]=0[/tex]
Đối với phương trình: [TEX]\frac{15}{\sqrt{5x-1}+2}+2(6x-1)=0[/TEX]
Nhận thấy ĐKXĐ là: [tex]x\geq \frac{1}{5}[/tex] => [TEX]6x-1>0[/TEX], do đó phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là: [tex](1;\frac{1}{2})[/tex]
1. Giải hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} (x-1)(x^2-2x+4)=y^3+3y\\ 2\sqrt{2x-y}-13=x^2+5y \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: Ở đây ta biến đổi phương trình (1), bằng cách nhân phá và sử dụng hằng đẳng thức:
[TEX]x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y<=>(x-1)^3+3(x-1)=y^3+3y[/TEX]
Ta thấy 2 vế của phương trình cùng dạng hàm [TEX]f(u)=u^3+3u[/TEX], hàm này ĐB trên R, nên phương trình có nghiệm duy nhất [TEX]x-1=y[/TEX]. Thực hiện chuyển vế để phân tích:
[TEX](x-1)^3-y^3+3(x-1)-3y=0<=>(x-1-y)[(x-1)^2+(x-1)y+y^2]+3(x-1-y)=0<=>(x-1-y)[(x-1)^2+(x-1)y+y^2+3]=0[/TEX]
<=>[TEX]x=y+1[/TEX] hoặc [TEX](x-1)^2+(x-1)y+y^2+3=0[/TEX]
Phương trình còn lại dễ dàng chứng minh vô nghiệm, vì [TEX](x-1)^2+(x-1)y+y^2[/TEX] là một bình phương thiếu, nên luôn luôn không âm.
Thay x=y+1 vào phương trình còn lại ta được:
[tex]2\sqrt{y+2}-12=y^2+7y+1<=>y+2+2\sqrt{y+2}+1=y^2+8y+16<=>(\sqrt{y+2}+1)^2=(y+4)^2[/tex]
<=>[TEX]\sqrt{y+2}+1=y+4[/TEX] hoặc [TEX]\sqrt{y+2}+1=-y-4[/TEX]
2 phương trình này dễ dàng giải được bằng cách bình phương 2 vế. Ta có 2 phương trình đều vô nghiệm, vậy hệ đã cho vô nghiệm.
Nhận xét : đặc trưng của dạng này thường sẽ là một phương trình mà 2 vế là một hàm bậc ba ( đây là dạng hàm thường gặp nhất ). Khi đó ta sẽ cố gắng thêm bớt sao cho hằng đẳng thức của lập phương xuất hiện, phần còn lại sẽ tự động khớp với nhau.
2. Giải hệ : [tex]\left\{\begin{matrix} x(x^2+3y^2+5)=y(2y^2+3x^2+10)\\ \frac{3y}{x}\sqrt{4x+2y-1}+6x^2=6x+2y+2 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: Điều kiện: [TEX]4x+2y-1 \geq 0 , x \neq 0[/TEX]
Ở phương trình (1) nhận thấy 2 vế đều đang có bậc 3, ta thực hiện biến đổi về HĐT:
[TEX]x^3+3xy^2+5x=2y^3+3x^2y+10y<=>x^3-3x^2y+3xy^2-y^3+5x=y^3+10y[/TEX]
<=>[TEX](x-y)^3+5(x-y)=y^3+5y[/TEX]
Ở 2 vế xuất hiện dạng hàm [TEX]f(u)=u^3+5u[/TEX], chuyển vế để phân tích nhân tử tương tự như câu 1:
[TEX](x-2y)[(x-y)^2+(x-y)y+y^2+5]=0<=>x=2y[/TEX]
Thay x=2y vào phương trình (2) ta được: [tex]\frac{3}{2}\sqrt{5x-1}+6x^2=7x+2[/tex] (*)
Trở về dạng phương trình liên hợp, nhẩm nghiệm thấy x=1 là nghiệm :
[tex](*)<=>3(\sqrt{5x-1}-2)+2(6x^2-7x+1)=0<=>3\frac{5x-5}{\sqrt{5x-1}+2}+2(6x-1)(x-1)=0[/tex]
<=>[tex](x-1)[\frac{15}{\sqrt{5x-1}+2}+2(6x-1)]=0[/tex]
Đối với phương trình: [TEX]\frac{15}{\sqrt{5x-1}+2}+2(6x-1)=0[/TEX]
Nhận thấy ĐKXĐ là: [tex]x\geq \frac{1}{5}[/tex] => [TEX]6x-1>0[/TEX], do đó phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là: [tex](1;\frac{1}{2})[/tex]
