- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Hệ đối xứng loại 1 là loại hệ mà mỗi phương trình trong đó, khi ta thay x bởi y, y bởi x, thì vẫn được phương trình như ban đầu.
Ví dụ: [TEX]x+y+xy=1[/TEX]. Nếu ta thay x bởi y, y bởi x thì ta được: [TEX]y+x+yx=1[/TEX], vẫn là phương trình ban đầu.
Cách giải: Ta cố gắng biến đổi phương trình về các biểu thức đối xứng và đặt ẩn phụ, ví dụ như : x+y và xy. Sau đó đặt ẩn phụ và giải phương trình.
*Nhân xét: do tính đối xứng, nên nếu (x;y) là nghiệm thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Do đó, trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, thì nghiệm đó phải là x=y.
1. Giải các phương trình:
a. [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+2xy=12\\ x^3+y^3=16 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: [TEX]x^3+y^3=16<=>(x+y)(x^2-xy+y^2)=16<=>(x+y)[(x+y)^2-3xy]=16[/TEX]
Đặt [TEX]a=x+y,b=xy[/TEX] ta thu được hệ:
[tex]\left\{\begin{matrix} a+2b=12\\ a(a^2-3b)=16 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} b=\frac{12-a}{2}\\ a(a^2-3\frac{12-a}{2})=16 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} b=\frac{12-a}{2}\\ 2a^3+3a^2-36a-32=0 \end{matrix}\right.[/tex]
<=>[tex]\left\{\begin{matrix} b=\frac{12-a}{2}\\ (a-4)(2a^2+11a+8)=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Với a=4 ta được b=4=>x+y=4 và xy=4<=>x=y=2
+ Với [TEX]2a^2+11a+8=0[/TEX], ta chú ý: a,b sẽ cho cặp nghiệm x,y thỏa mãn phương trình:[TEX]x^2-ax+b=0[/TEX]
Do đó hệ có nghiệm khi: [TEX]a^2-4b \geq 0<=>a^2+2a-24 \geq 0 <=> a \geq 4[/TEX] hoặc [TEX]a \leq -6[/TEX]
Với [TEX]a \geq 4[/TEX] hoặc [TEX]a \leq -6[/TEX] ta có pt : [TEX]2a^2+11a+8=0[/TEX] vô nghiệm. Do đó hệ có nghiệm duy nhất x=y=2
b. [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: Ta có : [tex]x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4 <=>(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2=8[/tex]
Đặt: [tex]x+\frac{1}{x}=a,y+\frac{1}{y}=b[/tex] thu được hệ:
[tex]\left\{\begin{matrix} a+b=4\\ a^2+b^2=8 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} b=4-a\\ a^2+(4-a)^2=8 \end{matrix}\right. ,<=>a=b=2[/tex]
Với a=b=2 trả biến và giải ta được x=y=1.
2. Biện luận m để hệ sau có nghiệm :
[tex]\left\{\begin{matrix} x+y+xy=m\\ x^2+y^2=m+1 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: [TEX]x^2+y^2=m+1<=>(x+y)^2-2xy=m+1[/TEX]
Đặt [TEX]x+y=a,xy=b[/TEX] ta thu được hệ :
[tex]\left\{\begin{matrix} a+b=m\\ a^2-2b=m+1 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} b=m-a\\ a^2+2a-3m-1=0 \end{matrix}\right.[/tex]
<=>[tex]\left\{\begin{matrix} a=-1+\sqrt{3m+2}\\ b=m+1-\sqrt{3m+2} \end{matrix}\right.[/tex]
hoặc: [tex]\left\{\begin{matrix} a=-1-\sqrt{3m+2}\\ b=m+1+\sqrt{3m+2} \end{matrix}\right.[/tex]
Điều kiện: [TEX]m \geq -2/3[/TEX]
Theo như bài 1: để hệ có nghiệm thì: [TEX]a^2 \geq 4b[/TEX]
TH1: [tex]\left\{\begin{matrix} a=-1+\sqrt{3m+2}\\ b=m+1-\sqrt{3m+2} \end{matrix}\right.[/tex]
=> [tex](\sqrt{3m+2}-1)^2\geq 4(m+1-\sqrt{3m+2})<=>2\sqrt{3m+2}\geq m+1<=>4(3m+2)\geq (m+1)^2<=>m^2-10m-7\leq 0[/tex]
<=>[tex]5-\sqrt{32}\leq m\leq 5+\sqrt{32}[/tex]
Kết hợp với điều kiện [TEX]m \geq -2/3[/TEX] ta được điều kiện cần tìm là:
<=>[tex]5-\sqrt{32}\leq m\leq 5+\sqrt{32}[/tex]
TH2: [tex]\left\{\begin{matrix} a=-1+\sqrt{3m+2}\\ b=m+1+\sqrt{3m+2} \end{matrix}\right.[/tex]
=>[TEX](\sqrt{3m+2}-1)^2\geq 4(m+1+\sqrt{3m+2})[/TEX]
Giải tương tự TH1, ta được trường hợp này vô nghiệm.
Vậy kết luận các gía trị của m để hệ có nghiệm là: [tex]5-\sqrt{32}\leq m\leq 5+\sqrt{32}[/tex]
Ví dụ: [TEX]x+y+xy=1[/TEX]. Nếu ta thay x bởi y, y bởi x thì ta được: [TEX]y+x+yx=1[/TEX], vẫn là phương trình ban đầu.
Cách giải: Ta cố gắng biến đổi phương trình về các biểu thức đối xứng và đặt ẩn phụ, ví dụ như : x+y và xy. Sau đó đặt ẩn phụ và giải phương trình.
*Nhân xét: do tính đối xứng, nên nếu (x;y) là nghiệm thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Do đó, trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, thì nghiệm đó phải là x=y.
1. Giải các phương trình:
a. [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+2xy=12\\ x^3+y^3=16 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: [TEX]x^3+y^3=16<=>(x+y)(x^2-xy+y^2)=16<=>(x+y)[(x+y)^2-3xy]=16[/TEX]
Đặt [TEX]a=x+y,b=xy[/TEX] ta thu được hệ:
[tex]\left\{\begin{matrix} a+2b=12\\ a(a^2-3b)=16 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} b=\frac{12-a}{2}\\ a(a^2-3\frac{12-a}{2})=16 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} b=\frac{12-a}{2}\\ 2a^3+3a^2-36a-32=0 \end{matrix}\right.[/tex]
<=>[tex]\left\{\begin{matrix} b=\frac{12-a}{2}\\ (a-4)(2a^2+11a+8)=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Với a=4 ta được b=4=>x+y=4 và xy=4<=>x=y=2
+ Với [TEX]2a^2+11a+8=0[/TEX], ta chú ý: a,b sẽ cho cặp nghiệm x,y thỏa mãn phương trình:[TEX]x^2-ax+b=0[/TEX]
Do đó hệ có nghiệm khi: [TEX]a^2-4b \geq 0<=>a^2+2a-24 \geq 0 <=> a \geq 4[/TEX] hoặc [TEX]a \leq -6[/TEX]
Với [TEX]a \geq 4[/TEX] hoặc [TEX]a \leq -6[/TEX] ta có pt : [TEX]2a^2+11a+8=0[/TEX] vô nghiệm. Do đó hệ có nghiệm duy nhất x=y=2
b. [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\\ x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: Ta có : [tex]x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=4 <=>(x+\frac{1}{x})^2+(y+\frac{1}{y})^2=8[/tex]
Đặt: [tex]x+\frac{1}{x}=a,y+\frac{1}{y}=b[/tex] thu được hệ:
[tex]\left\{\begin{matrix} a+b=4\\ a^2+b^2=8 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} b=4-a\\ a^2+(4-a)^2=8 \end{matrix}\right. ,<=>a=b=2[/tex]
Với a=b=2 trả biến và giải ta được x=y=1.
2. Biện luận m để hệ sau có nghiệm :
[tex]\left\{\begin{matrix} x+y+xy=m\\ x^2+y^2=m+1 \end{matrix}\right.[/tex]
Giải: [TEX]x^2+y^2=m+1<=>(x+y)^2-2xy=m+1[/TEX]
Đặt [TEX]x+y=a,xy=b[/TEX] ta thu được hệ :
[tex]\left\{\begin{matrix} a+b=m\\ a^2-2b=m+1 \end{matrix}\right. <=>\left\{\begin{matrix} b=m-a\\ a^2+2a-3m-1=0 \end{matrix}\right.[/tex]
<=>[tex]\left\{\begin{matrix} a=-1+\sqrt{3m+2}\\ b=m+1-\sqrt{3m+2} \end{matrix}\right.[/tex]
hoặc: [tex]\left\{\begin{matrix} a=-1-\sqrt{3m+2}\\ b=m+1+\sqrt{3m+2} \end{matrix}\right.[/tex]
Điều kiện: [TEX]m \geq -2/3[/TEX]
Theo như bài 1: để hệ có nghiệm thì: [TEX]a^2 \geq 4b[/TEX]
TH1: [tex]\left\{\begin{matrix} a=-1+\sqrt{3m+2}\\ b=m+1-\sqrt{3m+2} \end{matrix}\right.[/tex]
=> [tex](\sqrt{3m+2}-1)^2\geq 4(m+1-\sqrt{3m+2})<=>2\sqrt{3m+2}\geq m+1<=>4(3m+2)\geq (m+1)^2<=>m^2-10m-7\leq 0[/tex]
<=>[tex]5-\sqrt{32}\leq m\leq 5+\sqrt{32}[/tex]
Kết hợp với điều kiện [TEX]m \geq -2/3[/TEX] ta được điều kiện cần tìm là:
<=>[tex]5-\sqrt{32}\leq m\leq 5+\sqrt{32}[/tex]
TH2: [tex]\left\{\begin{matrix} a=-1+\sqrt{3m+2}\\ b=m+1+\sqrt{3m+2} \end{matrix}\right.[/tex]
=>[TEX](\sqrt{3m+2}-1)^2\geq 4(m+1+\sqrt{3m+2})[/TEX]
Giải tương tự TH1, ta được trường hợp này vô nghiệm.
Vậy kết luận các gía trị của m để hệ có nghiệm là: [tex]5-\sqrt{32}\leq m\leq 5+\sqrt{32}[/tex]
