- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Trong các câu hệ với 2 biến x,y. Trường hợp đẹp dễ làm nhất là 1 phương trình sẽ có thể phân tích được x theo y hoặc y theo x ( trường hợp khó hơn là phải nhân từng vế với 1 số thực k rồi cộng với nhau mới phân tích được, thì sẽ không đề cập đến trong bài này), vậy dấu hiệu và phân tích nhân tử như thế nào?
1. Giải hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\\ x^2-xy-2y^2=-x+2y \end{matrix}\right.[/tex]
Ta kì vọng rằng 1 pt có thể phân tích luôn thành nhân tử, ở đây nhìn pt (1) thì chắc chắn chẳng có gì để biến đổi nữa. Ta nhìn vào pt (2):
[TEX]x^2-xy-2y^2=-x+2y[/TEX](*)
Cho x=10, bấm máy được y=20 hoặc y=-11 , cho x=20, bấm máy ta được y=40 hoặc y=-21. Vậy có 1 nghiệm dễ nhìn ra là x=2y. Do đó ta tách cách số hạng sao cho nhân tử (x-2y) xuất hiện ( hoặc ta có thể tính nghiệm theo delta cũng được, vì đây là pt bậc 2)
Ta có: [TEX](*)<=>x^2-4y^2-(xy-2y^2)+(x-2y)=0<=>(x+2y)(x-2y)-y(x-2y)+(x-2y)=0<=>(x-2y)(x+y+1)=0[/TEX]
<=>[TEX]x=2y[/TEX] hoặc [TEX]x=-y-1[/TEX]
Việc còn lại chỉ cần thay vào pt (1) để giải
2. Giải hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+6xy=8\\ 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.[/tex]
Nhìn cả 2 pt đều có khá ít thứ để biến đổi. Nhưng ta cứ thử, với pt (1) thì thử x=10, bấm máy pt bậc 3 được y=-8, thử x=20 bấm máy thấy y=-18, vậy ta đoán ra pt đầu có nghiệm là : [TEX]x=2-y[/TEX] , hay nhân tử là x+y-2. Vậy ta thêm bớt bằng được sao cho xuất hiện x+y-2
[TEX]x^3+y^3-8+6xy=0<=>(x+y)(x^2-xy+y^2)+6xy-8=0[/TEX]
Thấy có (x+y) xuất hiện, cần thêm -2 nữa nên ta thêm bớt:
[TEX](x+y)(x^2-xy+y^2)-2(x^2-xy+y^2)+2(x^2-xy+y^2)+6xy-8=0<=>(x+y-2)(x^2-xy+y^2)+2x^2+4xy+2y^2-8=0[/TEX]
<=>[TEX](x+y-2)(x^2-xy+y^2)+2(x+y)^2-8=0<=>(x+y-2)(x^2-xy+y^2)+2(x+y-2)(x+y+2)=0[/TEX]
<=>[TEX](x+y-2)(x^2-xy+y^2+2x+2y+4)=0[/TEX]
Như vậy nhân tử x+y-2 đã xuất hiện, khá dễ nhỉ?
Còn nhân tử còn lại: [TEX]x^2-xy+y^2+2x+2y+4=0[/TEX], cho y=10 bất kì thấy vô nghiệm. Ta mới để ý khi nhân 2: [TEX]2x^2-2xy+2y^2+4x+4y+8=0<=>(x-y)^2+(x+2)^2+(y+2)^2=0<=>x=y=-2[/TEX]
Thay x=y=-2 vào pt còn lại thì không thỏa mãn.
Như vậy mình đã trình bày cách làm của dạng hệ pt này, đương nhiên có nhiều câu thì nhân tử sẽ khó nhìn ra hơn, các bạn trong các trình làm sẽ tích lũy được cho bản thân khả năng phán đoán. Ví dụ như:
[tex]\left\{\begin{matrix} (\sqrt{y}+1)^2+\frac{y^2}{x}=y^2+2\sqrt{x-2}\\ x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^2+y \end{matrix}\right.[/tex]
Ở hệ này ta biến đổi pt (2): [TEX]x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^2+y<=>x^2y+x^2-x+y^2-y^3x-y^2x=0<=>(y+1)x^2-(y^3+y^2+1)x+y^2=0 [/TEX]
Vì y lên tới bậc 3 nên ta thử với y nhỏ, với y=2 ta được x=1/3 hoặc x=4
Với y=3 được x=1/4 hoặc x=9
Với y=4 được x=1/5 hoặc x=16
Như vậy đoán được ra 1 nhân tử là [TEX]y=x^2[/TEX], việc còn lại là thêm bớt để phân tích và giải
1. Giải hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\\ x^2-xy-2y^2=-x+2y \end{matrix}\right.[/tex]
Ta kì vọng rằng 1 pt có thể phân tích luôn thành nhân tử, ở đây nhìn pt (1) thì chắc chắn chẳng có gì để biến đổi nữa. Ta nhìn vào pt (2):
[TEX]x^2-xy-2y^2=-x+2y[/TEX](*)
Cho x=10, bấm máy được y=20 hoặc y=-11 , cho x=20, bấm máy ta được y=40 hoặc y=-21. Vậy có 1 nghiệm dễ nhìn ra là x=2y. Do đó ta tách cách số hạng sao cho nhân tử (x-2y) xuất hiện ( hoặc ta có thể tính nghiệm theo delta cũng được, vì đây là pt bậc 2)
Ta có: [TEX](*)<=>x^2-4y^2-(xy-2y^2)+(x-2y)=0<=>(x+2y)(x-2y)-y(x-2y)+(x-2y)=0<=>(x-2y)(x+y+1)=0[/TEX]
<=>[TEX]x=2y[/TEX] hoặc [TEX]x=-y-1[/TEX]
Việc còn lại chỉ cần thay vào pt (1) để giải
2. Giải hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} x^3+y^3+6xy=8\\ 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.[/tex]
Nhìn cả 2 pt đều có khá ít thứ để biến đổi. Nhưng ta cứ thử, với pt (1) thì thử x=10, bấm máy pt bậc 3 được y=-8, thử x=20 bấm máy thấy y=-18, vậy ta đoán ra pt đầu có nghiệm là : [TEX]x=2-y[/TEX] , hay nhân tử là x+y-2. Vậy ta thêm bớt bằng được sao cho xuất hiện x+y-2
[TEX]x^3+y^3-8+6xy=0<=>(x+y)(x^2-xy+y^2)+6xy-8=0[/TEX]
Thấy có (x+y) xuất hiện, cần thêm -2 nữa nên ta thêm bớt:
[TEX](x+y)(x^2-xy+y^2)-2(x^2-xy+y^2)+2(x^2-xy+y^2)+6xy-8=0<=>(x+y-2)(x^2-xy+y^2)+2x^2+4xy+2y^2-8=0[/TEX]
<=>[TEX](x+y-2)(x^2-xy+y^2)+2(x+y)^2-8=0<=>(x+y-2)(x^2-xy+y^2)+2(x+y-2)(x+y+2)=0[/TEX]
<=>[TEX](x+y-2)(x^2-xy+y^2+2x+2y+4)=0[/TEX]
Như vậy nhân tử x+y-2 đã xuất hiện, khá dễ nhỉ?
Còn nhân tử còn lại: [TEX]x^2-xy+y^2+2x+2y+4=0[/TEX], cho y=10 bất kì thấy vô nghiệm. Ta mới để ý khi nhân 2: [TEX]2x^2-2xy+2y^2+4x+4y+8=0<=>(x-y)^2+(x+2)^2+(y+2)^2=0<=>x=y=-2[/TEX]
Thay x=y=-2 vào pt còn lại thì không thỏa mãn.
Như vậy mình đã trình bày cách làm của dạng hệ pt này, đương nhiên có nhiều câu thì nhân tử sẽ khó nhìn ra hơn, các bạn trong các trình làm sẽ tích lũy được cho bản thân khả năng phán đoán. Ví dụ như:
[tex]\left\{\begin{matrix} (\sqrt{y}+1)^2+\frac{y^2}{x}=y^2+2\sqrt{x-2}\\ x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^2+y \end{matrix}\right.[/tex]
Ở hệ này ta biến đổi pt (2): [TEX]x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^2+y<=>x^2y+x^2-x+y^2-y^3x-y^2x=0<=>(y+1)x^2-(y^3+y^2+1)x+y^2=0 [/TEX]
Vì y lên tới bậc 3 nên ta thử với y nhỏ, với y=2 ta được x=1/3 hoặc x=4
Với y=3 được x=1/4 hoặc x=9
Với y=4 được x=1/5 hoặc x=16
Như vậy đoán được ra 1 nhân tử là [TEX]y=x^2[/TEX], việc còn lại là thêm bớt để phân tích và giải
