giải giúp tớ bài BĐT này với....hay lắm

[chuyengiatoanhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 thoả mãn ab+bc+ca = abc
CMR: [TEX]\frac{b}{a^2} + \frac{c}{b^2}+ \frac{a}{c^2 }\geq 3(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2})[/TEX]
( khó qúa (
~~>đề như vầy à

 

[bboy114crew]

cho a,b,c>0 thoả mãn ab+bc+ca = abc
CMR: [TEX]\frac{b}{a^2} + \frac{c}{b^2}+ \frac{a}{c^2 }\geq 3(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2})[/TEX]
( khó qúa (
~~>đề như vầy à

TA có:
[TEX]ab+bc+ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1[/TEX]
đặt [TEX]\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z[/TEX]
Khi đó:
[TEX]x+y+z=1[/TEX]
BDT cần CM tương đương với:
[TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 3(x^2+y^2+z^2)[/TEX]
Ta lại có:
[TEX]\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}(Cauchy -chwarz)[/TEX]
Ta sẽ CM:
[TEX]\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x} \geq 3(x^2+y^2+z^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) \geq 3(x^2y+y^2z+z^2x)[/TEX]
Đúng theo AM-GM!