Giải giúp em bài này

[thaicuc95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng mình rằng
a) [TEX]a^4 + b^4 +c^4 >= abc(a+b+c)[/TEX]
b)[TEX] (a-6)(a-4)(a-3)(a-1) + 10 >=0[/TEX]
c) [TEX]a^4 + b^4 <= \frac{a^6}{b^2} + \frac{b^6}{a^2}[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

[TEX] a) a^4 + b^4 +c^4 >= abc(a+b+c)[/TEX]

[TEX]\sum{2a^4+b^4+c^4}\ge \sum{4a^2bc}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]dpcm[/TEX]

 

[son_9f_ltv]

[TEX] b) (a-6)(a-4)(a-3)(a-1) + 10 >=0[/TEX]

đặt [TEX]a^2-7a+6=x[/TEX]

\Rightarrow [TEX]dpcm[/TEX] (áp dụng hằng đẳng thức)

 

[xyzt1402]

[TEX]A=(a-6)(a-4)(a-3)(a-1)+10 = (a^2-7a+6)(a^2-7a+12)+10. \text{Đặt} X=a^2-7a+9 \Leftrightarrow A=(X-3)(X+3)+10=X^2+1>0 (\text{ Dấu bằng không xảy ra}. [/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Chứng mình rằng

c) [TEX]a^4 + b^4 \leq \frac{a^6}{b^2} + \frac{b^6}{a^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^6b^2+b^6+a^2 \leq a^8+b^8[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^6(b^2-a^2)-b^6(b^2-a^2)\leq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (b^2-a^2)(a^6-b^6)\leq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (b^2-a^2)(a^2-b^2)(a^4+a^2+b^2+b^4)\leq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -(b^2-a^2)(a^4+a^2+b^2+b^4)\leq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm

 

[vnzoomvodoi]

Một cách khác cho câu c)
Bđt đã cho [TEX]\Leftrightarrow\frac{a^8+b^8}{a^2.b^2}\geq(a^4+b^4)[/TEX]
Mà [TEX]\frac{a^8+b&8}{a^2.b^2}\geq\frac{2(a^8+b^8}{a^4+b^4)[/TEX]
Mặt khác [TEX]\frac{2(a^8+b^8}{a^4+b^4}\geq a^4+b^4[/TEX] (cái này bạn tự chứng minh, dễ mà)
Suy ra điều phải chứng minh

 

[vnzoomvodoi]

a)
Phá ra rồi chuyển vế, ta cần chứng minh
[TEX]a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab\geq0\Leftrightarrow\frac{a^2b^2+a^2c^2}{2}-a^2bc+\frac{b^2c^2+b^2a^2}{2}-b^2ac+\frac{a^2c^2+b^2c^2}{2}-c^2ab\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2(\frac{b^2+c^2}{2}-bc)...\geq0[/TEX]

Vì phép biến đổi là tương đương nên bất đẳng thức cuối đúng suy ra bất đẳng thức đầu tiên cũng đúng
b) Mình không nói câu này dễ nhưng có vẻ như đã quá quen thuộc rồi không cần nói thêm nữa [-(

 

[son_9f_ltv]

a)
Phá ra rồi chuyển vế, ta cần chứng minh
[TEX]a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-a^2bc-b^2ac-c^2ab\geq0\Leftrightarrow\frac{a^2b^2+a^2c^2}{2}-a^2bc+\frac{b^2c^2+b^2a^2}{2}-b^2ac+\frac{a^2c^2+b^2c^2}{2}-c^2ab\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2(\frac{b^2+c^2}{2}-bc)...\geq0[/TEX]

Vì phép biến đổi là tương đương nên bất đẳng thức cuối đúng suy ra bất đẳng thức đầu tiên cũng đúng
b) Mình không nói câu này dễ nhưng có vẻ như đã quá quen thuộc rồi không cần nói thêm nữa [-(

câu a mình làm oy mà!!!!
AM-GM đc mà !!!