1. sin^3x + cos^3x + 2sin^2x.cos^2x - 3m +5 = 0(1)
Đặt t=sinx+cosx,|t| \leq \sqrt{2}(2) \Rightarrow t^2=1+2sinxcosx \Rightarrow sinxcosx=\frac{t^2-1}{2}
t^3=sin^3x+cos^3x+3sinxcosx(sinx+cosx) \Rightarrow sin^3x+cos^3x=t^3-3t.frac{t^2-1}{2}=\frac{-t^3+3t}{2}
Thế vào PT ta được:
6m-10=t^4-t^3-2t^2+3t+1 \Leftrightarrow g(m)=f(t)(2)
f(t)=t^4-t^3-2t^2+3t+1
g(m)=6m-10
Để PT (1) có nghiệm thì PT (3) có nghiệm t thỏa mãn (2) \Leftrightarrow Minf(t) \leq g(m) \leq Maxf(t)
Xét hàm f(t) với t thỏa mãn (2):
f'(t)=4t^3-3t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{t=1}\\{t=-1}\\{t=\frac{3}{4}}
f(1)=2,f(-1)=-2,f(\sqrt{2})=\sqrt{2}+1,f(-\sqrt{2})=-\sqrt{2}+1
\Rightarrow Minf(x)=-2,Maxf(x)=\sqrt{2}+1
Vậy PT có nghiệm khi và chỉ khi:
-2 \leq 6m-10 \leq \sqrt{2}+1 \Leftrightarrow \frac{4}{3} \leq m \leq \frac{11+\sqrt{2}}{6}
2. \frac{sin5x}{sinx} = m
DK:sinx \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi
PT \Leftrightarrow sin5x=msinx(1) \Leftrightarrow sin5x-sin3x+sin3x-sinx=(m-1)sinx
\Leftrightarrow 2cos4x.sinx+2cos2xsinx=(m-1)sinx
\Leftrightarrow 2cos4x+2cos2x=m-1 \Leftrightarrow 4cos^22x+2cos2x-1=m(2)
+)sinx=0 \Leftrightarrow cos2x=1 \Rightarrow (2) \Leftrightarrow m=5
Thay ngược lại vào PT(5):
4cos^2x+2cos2x-6=0 \Leftrightarrow \left[\begin{cos2x=1}\\{cos2x=\frac{-3}{2}} \Rightarrow PT(1) VN
\Rightarrow m=5 không thỏa mãn
Đặt t=cos2x,|t| \leq 1 \Rightarrow (2) \Leftrightarrow f(t)=4t^2+2t-1=m(3)
Để PT(1) có nghiệm thì PT (3) có nghiệm khác 1 \Leftrightarrow Minf(t) \leq m \leq Maxf(t) và m khác 5
Xét hàm f(t) với |t| \leq 1
f'(t)=8t+1=0 \Leftrightarrow t=\frac{-1}{4}
f(-1)=1,f(1)=5,f(-\frac{1}{4})=\frac{-5}{4}
\Rightarrow Maxf(t)=5,Minf(t)=\frac{5}{4}
Vậy PT có nghiệm \Leftrightarrow \frac{-5}{4} \leq m < 5
3. \sqrt[2]{x+3} + \sqrt[2]{5-x} - \sqrt[2]{(x+3)(5-x)} = m(1)
Đặt t=\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x} \Rightarrow t^2=8+2\sqrt{(x+3)(5-x)} \geq 8(2)
2\sqrt{(x+3)(5-x)} \leq x+3+5-x=8 \Rightarrow t^2 \leq 16(3)
Từ (2) và (3) \Rightarrow 8 \leq t^2 \leq 16 \Leftrightarrow 2\sqrt{2} \leq t \leq 4(*)
Thay vào PT(1) ta được:
f(t)=t-\frac{t^2-8}{2}=m,t TM (*)
Để PT(1) có nghiệm thì PT f9t)=m có nghiệm t thỏa mãn (*) \Leftrightarrow Minf(t) \leq m \leq Maxf(t)
f(t)=1-t=0 \Leftrightarrow t=1
f(1)=\frac{9}{2},f(2\sqrt{2})=2\sqrt{2},f(4)=0
\Rightarrow Minf(t)=0,Maxf(t)=\frac{9}{2}
Vậy: 0 \leq m \leq \frac{9}{2}
4. \sqrt[2]{x+6} + \sqrt[2]{3-x} - m\sqrt[2]{(x+6)(3-x)} + 1 =0(1)
Đặt t=\sqrt{6}+\sqrt{3-x} \Rightarrow 3 \leq t \leq 3\sqrt{2}(*)
t^2=9+2\sqrt{(x+6)(3-x)}
Thay vào PT ta được:
t+1-m.\frac{t^2-9}{2}=0(2)
Dễ thấy m=0 thì PT (2) VN \Rightarrow PT (1) VN
m \neq 0 \Rightarrow (2) \Leftrightarrow f(t)=\frac{t^2-9}{2(t+1)}=\frac{1}{m}(3)
Để PT(1) có nghiệm thì PT(3) có nghiệm t thỏa mãn (*) \Leftrightarrow Minf(t) \leq \frac{1}{m} \leq Maxf(t)
f'(t)=\frac{2t^2+4t+18}{49t+1)^2} > 0 \forall t \in [3;3\sqrt{3}]
\Rightarrow f(3) \leq f(t) \leq f(3\sqrt{2}) \Rightarrow 0 \leq m \leq \frac{9}{2(3\sqrt{2}+1)}
Vậy:m \geq \frac{2(3\sqrt{2}+1)}{9}
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
