Giải đề tuyển MOD 12 và chấm bài dự thi.

[duynhan1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề Tuyển Moderator Toán 12
. .
​

 

[duynhan1]

Bài làm của nhocngo976
Câu 1:

[TEX]a, \lim_{x\to 1} \frac{\sqrt[3]{3x^2 -3x+1} -\sqrt{2x-1}}{(x-1)^2} \\\\ = \lim_{x\to 1} [\frac{\sqrt[3]{3x^2 -3x+1} -x}{(x-1)^2} + \frac{x- \sqrt{2x-1}}{(x-1)^2}] \\\\ = \lim_{x\to 1} [ \frac{-(x-1)^3}{(x-1)^2(\sqrt[3]{(3x^2 -3x+1)^2} +x\sqrt[3]{3x^2-3x+1} +x^2)} + \frac{(x-1)^2}{(x-1)^2(\sqrt{2x-1}+x)} ]= 0 + \frac{1}{2}= \frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]b, \lim_{x\to 0} \frac{cosx(2cos^2x-1)-1}{(1-cosx)(1+cosx)} \\\\ = \lim_{x\to 0} \frac{2cos^3x -cosx -1}{(1-cosx)(1+cosx)} \\\\ = \lim_{x \to 0}\frac{-(2cos^2x+2cosx+1)}{1+cosx} = \frac{-5}{2} [/TEX]
1 điểm
Câu 5:

[TEX]DK: \ x \ge \frac{1}{2}; y \ge \frac{1}{2}[/TEX]

có: [TEX]VT (2) \ge 2 \sqrt{(x+3) \sqrt{2x-1}(y+3) \sqrt{2y-1}} = 2\sqrt{(x+3)(y+3) \sqrt{4xy-2x-2y +1}}= VP(2)[/TEX]

dấu = có khi và chỉ khi: [TEX](x+3)\sqrt{2x-1} =(y+3) \sqrt{2y-1}[/TEX]

xét
[TEX]f(t)= (t+3) \sqrt{2t-1} \ tren \ [\frac{1}{2}; + \infty)[/TEX]

có [TEX]f'(t)= \sqrt{2t-1}+ (t+3) \frac{1}{\sqrt{2t-1}} >0 \ voi \ moi \ t \in [\frac{1}{2}; + \infty)[/TEX] f'(x) không xác định tại [TEX]x=\frac12[/TEX] nhé!

[TEX]\Rightarrow f(t) \ DB \ tren \ [\frac{1}{2} ; + \infty) \\\\ \Rightarrow f(x)=f(y) \rightarrow x=y \ the \ vao \ (1) \ co: 2x^2-2x=0 \leftrightarrow \left[\begin{ x=y=0 ( loai) \\ x=y=1[/TEX]

vậy hệ có nghiệm x=y=1.
0,75 điểm

Câu 7:

a, Gọi E là trung điểm A'D', ta có:

[TEX]\left{ ME // A'B ( \ A'BME \ la \ hbh ) \\ EN // A'D right. \rightarrow (A'BD) // (MNE) \rightarrow MN//(A'BD)[/TEX]

b. ta có:

[TEX]MN // (A'BD) \rightarrow d_{(MN;BD)}= d_{(MN;(A'BD))}=d_{(M;(A'BD))}= \frac{1}{2}d_{(C;(A'BD))}[/TEX]

[TEX]* \left{\begin{ BD \bot AC \\ BD \bot AA' \right. \rightarrow BD \bot (ACC'A') \rightarrow (ACC'A') \bot (A'BD) =A'O \ (O = AC \cap BD) \\\\ A'O \cap CC' = F [/TEX]

gọi hình chiếu của C lên (A'BD) là I thì I thuộc A'F

[TEX]AC= \sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2} \rightarrow OC= \frac{a\sqrt{2}}{2} \\\\ CF = AA'=a ( \ do \ \Delta FCO= \Delta A'AO) \\\\ \rightarrow d_{(C;(A'BD))}= CI = \frac{OC.CF}{\sqrt{OC^2+CF^2}} = \frac{a}{\sqrt{3} \\\\ \rightarrow d_{(MN;BD)}= \frac{a}{2\sqrt{3}} [/TEX]
1 điểm
Câu 8:
M, N thuộc tia Ox, Oy .Gọi M(m;0); N(0;n) => m>0, n>0

phương trình đường thẳng qua MN là: nx+my -mn=0

MN tiếp xúc (E) khi và chỉ khi

[TEX]16n^2 +9m^2 =m^2n^2 \leftrightarrow \frac{16}{m^2}+ \frac{9}{n^2}=1[/TEX]

ta có:

[TEX]1= \frac{4^2}{m^2}+\frac{3^2}{n^2} \ge \frac{(4+3)^2}{m^2+n^2} \rightarrow m^2+n^2 \ge 49 \rightarrow MN= \sqrt{m^2+n^2} \ge 7 \\\\ \rightarrow min \ MN= 7 \ khi \left{\begin{ \frac{4}{m^2' } =\frac{3}{n^2} \\ m^2+n^2=49 \\ m, n>0 \right. \\\\ \leftrightarrow \left{\begin{ m=\sqrt{28} \\ n= \sqrt{21}[/TEX]
Thiếu
vậy tọa độ điểm M, N là: [TEX]M( \sqrt{28};0) ; N( 0; \sqrt{21})[/TEX]
0,75 điểm
Câu 3:

[TEX]PT \leftrightarrow ( \frac{1+a^2}{2a})^x = 1 + ( \frac{1-a^2}{2a})^x \\\\ \leftrightarrow 1= (\frac{2a}{1+a^2})^x + (\frac{1-a^2}{1+a^2})^x[/TEX]

a thuộc (0;1), nên

đặt [TEX]a= tan \frac { \phi}{2} ( \phi \in (0; \frac{\pi}{2}))[/TEX], ta có:

[TEX]1= (\frac{2 tan \frac{\phi}{2}}{1+tan^2 \frac{\phi}{2}})^x + ( \frac{1 -tan^2 \frac{ \phi}{2}}{ 1+ tan^2 \frac{ \phi}{2}})^x \\\\ \leftrightarrow sin^x \phi + cos^x \phi =1[/TEX]
Thiếu chứng minh VP nghịch biến
ta có [TEX]sin^2 \phi + cos^2 \phi =1 [/TEX]

vậy [TEX]x=2 la \ nghiem \ pt[/TEX]
0,75 điểm
Câu 9:

[TEX]gt ---> \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z}= 3[/TEX]

đặt [TEX]\frac{1}{x}=a ; \frac{1}{y}=b ; \frac{1}{z}=c [/TEX]

[TEX]BDT \leftrightarrow \frac{a^2}{a+2b^2} + \frac{b^2}{b+2c^2}+ \frac{c^2}{c+2a^2} \ge 1 (*) [/TEX]

[TEX]VT(*) \ge \frac{a+b+c)^2 }{a+b+c+ 2(a^2+b^2+c^2)} = \frac{9}{3+2(a^2+b^2+c^2)} [/TEX]
0 điểm

Tổng điểm: 3,5 điểm

 

[duynhan1]

Bài làm của tuyn
Bài 1:
[TEX]a) =\lim_{x \to 1} [\frac{\sqrt[3}{3x^2-3x+1}-x}{(x-1)^2}+\frac{x-\sqrt{2x-1}}{(x-1)^2}]=\lim_{x \to 1} [\frac{-x^3+3x^2-3x+1}{(x-1)^2(\sqrt[3]{(3x^2-3x+1)^2}+\sqrt[3]{3x^2-3x+1}+1}+\frac{x^2-2x+1}{\sqrt{2x-1}+1}][/TEX]
[TEX]=\lim_{x \to 0} [-\frac{x-1}{\sqrt[3]{(3x^2-3x+1)^2}+\sqrt[3]{3x^2-3x+1}+1}-\frac{1}{\sqrt{2x-1}+1}]=\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]b) =\lim_{x \to 0} [\frac{cosxcos2x-cosx}{sin^2x}+\frac{cosx-1}{sin^2x}][/TEX]
[TEX]=\lim_{x \to 0} [-2cosx-\frac{1}{2} .\frac{sin^2( \frac{x}{2})}{(\frac{x}{2})^2}. \frac{x^2}{sin^2x}=-\frac{5}{2}[/TEX]
1 điểm
Bài 2:
[TEX]+) x=\pi+k2 \pi[/TEX] không là nghiệm của PT
[TEX]+) x \neq \pi+ k2 \pi[/TEX]
Đặt [TEX]t=tan( \frac{x}{2})[/TEX]
PT \Leftrightarrow [TEX]\frac{6.2t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}-[1-2. \frac{4t^2}{(1+t^2)^2}-\frac{20t}{1+t^2}-\frac{8(1-t^2)}{1+t^2}+9=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 16t^4-32t^3+24t^2-8t=0 \Leftrightarrow t(t-1)(t^2-2t+1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{t=0}\\{t=1}[/TEX]
[TEX]t=0 \Rightarrow x=k2 \pi[/TEX]
[TEX]t=1 \Rightarrow\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2 \pi[/TEX]
Vậy PT có 2 họ nghiệm trên
1 điểm
Bài 3:
[TEX]PT \Leftrightarrow (\frac{2a}{1+a^2})^x+(\frac{1-a^2}{1+a^2})^x=1(1)[/TEX]
Do [TEX]0 < a < 1, 1+a^2 > 2a, 1+a^2 > 1-a^2 \Rightarrow 0 < \frac{2a}{1+a^2}, \frac{1-a^2}{1+a^2} < 1[/TEX]
Do đó VT (1) là hàm số nghịch biến \Rightarrow PT có nghiệm duy nhất x=2
Vậy PT có nghiệm x=2
1 điểm
Bài 4:
Dễ thấy [TEX](u_n)[/TEX] là dãy số mà các phần tử khác 0
[TEX]u_nu_{n-1}+2u_n+1=0 \Leftrightarrow u_nu_{n-1}+u_n+u_{n-1}+1=u_{n-1}-u_n[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (u_n+1)(u_{n-1}+1)=(u_{n-1}+1)-(u_n+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{u_n+1}-\frac{1}{u_{n-1}+1}=1[/TEX]
Suy ra:
[TEX]\frac{1}{u_{n-1}+1}-\frac{1}{u_{n-2}+1}=1[/TEX]
[TEX]........[/TEX]
[TEX]\frac{1}{u_2+1}-\frac{1}{u_1}+1}=1[/TEX]
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
[TEX]\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_1+1}=n-1[/TEX]
Do [TEX]u_1=1[/TEX]
Vậy: [TEX]u_n=\frac{3-2n}{2n-1}[/TEX]
1 điểm
Bài 5:
ĐK: [TEX]x,y \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Từ PT thứ nhất của hệ suy ra:
[TEX]\left{\begin{2x-1=\frac{x}{y}}\\{2y-1=\frac{y}{x}}[/TEX]
Thế vào PT thứ 2 ta được:
[TEX](x+3)\sqrt{ \frac{x}{y}}+(y+3)\sqrt{ \frac{y}{x}}=2\sqrt{(x+3)(y+3)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(x+3)+y(y+3)=2\sqrt{x^2+3x)(y^2+3y)}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{y^2+3y})^2=0 \Leftrightarrow x^2+3x=y^2+3y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(x+y+3)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{x=y}\\{x+y+3=0(VN)}[/TEX]
[TEX]x=y \Rightarrow 2x^2=2x \Leftrightarrow \left[\begin{x=0(loai)}\\{x=1(TM)}[/TEX]
Vậy HPT có nghiệm: x=y=1
1 điểm
Bài 6:
Gọi số cần tìm là [TEX]A=\overline{abcdefg}[/TEX]. Do A chia hết cho 3 và [TEX]a,b,c,d,e,f,g \in {0,1,2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3 \leq a+b+c+d+e+f+g \leq 14[/TEX] và a+b+c+d+e+f+g chia hết cho 3
[TEX]\Rightarrow a+b+c+d+e+f+g \in {3,6,9,12}[/TEX]
Ta có 4 TH sau:
[TEX]a) TH 1: a+b+c+d+e+f+g=3[/TEX]
Do [TEX]a \neq 0[/TEX]
+) a=1:
-Trong 6 chữ số còn lại có 2 chữ số 1 và 4 chữ số 0.Có [TEX]C_6^2[/TEX] cách xếp 2 chữ số 1 vào 6 vị trí \Rightarrow có 15 số
-Trong 6 chữ số còn lại có 1 chữ số 2 và 5 chữ số 0 \Rightarrow có 6 số
+)a=2:
-Trong 6 chữ số còn lại có 1 chữ sô 1 \Rightarrow có 6 số
Vậy TH 1 có 27 số
[TEX]b) TH 2: a+b+c+d+e+f+g=6[/TEX]
+) a=1:
-Trong 6 chữ số còn lại có 1 chữ số 1 và 2 chữ số 2,còn lại là chữ số 0 \Rightarrow có: [TEX]6.C_5^2=60[/TEX] số
-Trong 6 chữ số còn lại có 3 chữ số 1 và 1 chữ số 2 còn lại là số 0 \Rightarrow có: [TEX]6.C_5^3=60[/TEX] số
-Trong 6 chữ số còn lại có 5 chữ số 1 và còn lại là chữ số 0 \Rightarrow có: [TEX]C_6^5=6[/TEX] số
+) a=2:
-Trong 6 chữ số còn lại có 2 chữ số 1 và 1 chữ số 2,còn lại là chữ số 0 \Rightarrow có: [TEX]6.C_5^2=60[/TEX] số
-Trong 6 chữ số còn lại có 4 chữ số 1 còn lại là số 0 \Rightarrow có: [TEX]C_6^4=15[/TEX] số
-Trong 6 chữ số còn lại có 2 chữ số 2 và còn lại là chữ số 0 \Rightarrow có: [TEX]C_6^2=15[/TEX] số
Vậy TH 2 có: 216 số
[TEX]c) TH 3: a+b+c+d+e+f+g=9[/TEX]
+) a=1:
-Trong 6 chữ số còn lại có 2 chữ số 1 và 3 chữ số 2, còn lại là chữ số 0 \Rightarrow có: [TEX]C_6^2C_4^3=45[/TEX] số
-Trong 6 chữ số còn lại có 4 chữ số 1 và 2 chữ số 2,còn lại là chữ số 0 \Rightarrow có: [TEX]C_6^4=15[/TEX] số
+) a=2:
-Trong 6 chữ số còn lại có 1 chữ số 1 và 3 chữ số 2 \Rightarrow có: [TEX]6C_5^3=60[/TEX] số
-Trong 6 chữ số còn lại có 3 chữ số 1 và 2 chữ số 2, còn lại là chữ số 0 \Rightarrow có: [TEX]C_6^3C_3^2=60[/TEX] số
-Trong 6 chữ số còn lại có 5 chữ số 1, 1 chữ số 2, còn lại là chữ số 0 \Rightarrow có: 6 số
Vậy TH 3 có: 186 số
[TEX]d) TH 4: a+b+c+d+e+f+g=12[/TEX]
+) a=1:
-Trong 6 số còn lại có 1 chữ số 1 và 5 chữ số 2 \Rightarrow có: 6 số
+) a=2:
-Trong 6 số còn lại có 2 chữ số 1,4 chữ số 2 \Rightarrow có: [TEX]C_6^2=15[/TEX] số
Vậy TH 4 có: 21 số
Vậy có tất cả: 27+216+186+21=450 số

0 điểm
Bài 7:
Dùng PP toạ độ trong không gian
Chọn hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz sao cho:
A trùng O,Ox trùng AB,Oy trùng AD, Oz trùng AA'
Do vậy: A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A'(0;0;a),B'(a;0;a),C'(a;a;a),D'(0;a;a)
Suy ra: [TEX]M(a;\frac{a}{2};0),N(0;a;\frac{a}{2})[/TEX]
PT mặt phẳng (A'BD): [TEX]\frac{a}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1 \Leftrightarrow x+y+z-a=0[/TEX]
VTPT của (A'BD): [TEX]\vec{n}=(1;1;1)[/TEX]
vtcp của đường thẳng MN là: [TEX]\vec{MN}=(-a; \frac{a}{2}; \frac{a}{2})[/TEX]
a) Ta có:
[TEX]\vec{n}.\vec{MN}=-a+ \frac{a}{2}+ \frac{a}{2}=0[/TEX]
Vậy MN // (A'BD)
b) Vì MN // (A'BD) nên:
[TEX]d(MN,(A'BD))=d(M,(A'BD))=\frac{|a+\frac{a}{2}-a|}{\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}[/TEX]
1 điểm
Bài 8:
Chú ý:Điều kiện cần và đủ để đường thẳng [TEX]Ax+By+C=0 ( A^2+B^2 > 0)[/TEX] tiếp xúc với elip [TEX](E): \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1[/TEX] là: [TEX]a^2A^2+b^2B^2=C^2[/TEX]
[TEX]M(m;0) \in Ox, N(0;n) \in Oy (m,n \neq 0) [/TEX]
[TEX]PT MN: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/TEX]
Do MN tiếp xúc (E) \Rightarrow [TEX]\frac{16}{m^2}+\frac{9}{n^2}=1[/TEX]
[TEX]1=\frac{16}{m^2}+\frac{9}{n^2} \geq \frac{4+3}^2}{m^2+n^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow m^2+n^2 \geq 49[/TEX]
Ta có:
[TEX]MN^2=m^2+n^2 \geq 49[/TEX]
Vậy MinMN=7
Khi: [TEX]\left{\begin{\frac{16}{m^2}+\frac{9}{n^2}=1}\\{\frac{4}{m^2}=\frac{3}{n^2}}[/TEX]
Giải hệ trên ta được: [TEX]M(\pm 2\sqrt{7};0), N(0;\pm \sqrt{21})[/TEX]
1 điểm
Bài 10:
Theo giả thiết:
-Cho x=1 \Rightarrow |y(1)|=|4+a| \leq 1 \Leftrightarrow -5 \leq a \leq -3 (1)
-Cho [TEX]x=\frac{1}{2} \Rightarrow |y(\frac{1}{2})|=\frac{a+1}{2}| \leq 1 \Leftrightarrow -3 \leq a \leq 1 (2)[/TEX]
Từ (1) và (2) \Rightarrow a=-3
+)Thử lại: Với a=-3
[TEX]y=4x^3-3x[/TEX]
Vì [TEX]x \in [-1;1] \Rightarrow dat:x=cost \Rightarrow y=4cos^3t-3cost=cos3t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow |y| \leq 1 \forall x[/TEX]
Vậy: a=-3
1 điểm

Tổng điểm: 8 điểm

 

[duynhan1]

Bài làm của thptductho .

 

[duynhan1]

Bài 2:
Đặt [TEX]a= sin x,\ b = cos x[/TEX]
Phương trình tạm được viết lại thành:
[TEX]6ab + 2a^2 - 10 a- 8b + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 2a^2 + 2( 3b - 5) a - 8b + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow 4a^2 + 2(3b-5) a + 2b^2 - 8b + 6 = 0 [/TEX]
Coi a là ẩn số ta có:
[TEX]\Delta ' = (3b-5)^2 - 4( 2b^2 - 8b + 6) = b^2 + 2b + 1 [/TEX]
Do đó ta có:
[TEX]\left[ a = \frac{5-3b - b-1}{4} = 1 - b \\ a = \frac{5-3b + b + 1}{4} = \frac{3-2b}{2}[/TEX]

Bài 6:
Chọn chữ số đầu tiên có 2 cách chọn.
Chọn 5 chữ số tiếp theo có [TEX]3^5 [/TEX] cách chọn.
Sau khi đã chọn 6 chữ số đầu tiên thì chữ số cuối cùng chỉ có 1 cách chọn. Thật vậy: Nếu tổng 6 số đầu chia hết cho 3 thì ta chọn chữ số 0, nếu tổng 6 số đầu chia 3 dư 1 thì ta chọn chữ số 2 và nếu tổng của 6 số đầu chia 3 dư 2 thì ta chọn chữ số 1.
Do đó số số có 7 chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2 và chia hết cho 3 là [TEX]2.3^5.1 = 486[/TEX] số.

. .