giải các BPT sau

[kimyejim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)cho 0[TEX]\leq[/TEX]a,b.c[TEX]\leq[/TEX]1.C/M:
2[TEX]a^3+2b^3+2c^3\leq3+a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]
2)cho abc=1 và [TEX]a^3>36[/TEX].C/M:
[TEX]\frac{a^2}{3}+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]
3)cho m,n,p,a,b,c>0 . C/M:
[TEX]\frac{ma}{b+c}+\frac{nb}{a+c}+\frac{pc}{b+a}\geq1/2(\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{p})^2[/TEX]
4)a,b,c>0 và a+b+c<1. C/M:
[TEX]\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq9[/TEX]
5)a,b,c,d>0 và a+b=c+d=1000. Tìm MAX của [TEX]\frac{a}{c}+\frac{b}{d}[/TEX]
6)CMR: [TEX]\sum_{k=1}^n 1/(k^2)<2[/TEX]
7)1+[TEX]\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-1)[/TEX]
8)cho n>1. C/M: [TEX]\frac{1}{2}<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<3/4[/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

2)cho abc=1 và [TEX]a^3>36[/TEX].C/M:
[TEX]\frac{a^2}{3}+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX]

$VT-VP=\dfrac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab-bc+2bc+\dfrac{a^{2}}{12}=(\dfrac{a}{2}-b-c)^{2}+\dfrac{a^{2}-36bc}{12}>0$ \Rightarrow đpcm


Cách khác:
Từ giả thiết suy ra $a>0$ và $bc>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\dfrac{a^2}{3}+(b+c)^2-3bc-a(b+c)\ge 0\\ \iff \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}\ge 0$
Vì $a^3>36$ nên $\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}> \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{1}{4}= \left(\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2 >0 $

Nguồn VMF​

 

[hien_vuthithanh]

4)a,b,c>0 và a+b+c<1. C/M:
[TEX]\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq9[/TEX]

Ta có$ \dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ac}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca} \ge \dfrac{9}{(a+b+c)^2} > \dfrac{9}{1^2}=9$

Dấu = không xảy ra do $a+b+c<1$