giải bất đẳng thức

[hinatabeauti]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]a) a^2 + \frac{1}{a^2 + 1} \geq 1[/TEX]

[TEX]b) x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2} \geq 2xy[/TEX]

[TEX]c) (a^2 + b^2)c + (b^2 + c^2)a + (a^2 +c^2)b \geq 6abc [/TEX] (a,b,c >0)

[TEX]d)\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \geq \frac{2}{1 + ab} (a\geq b \geq 1)[/TEX]

[TEX]e)\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 3 [/TEX] với x,y >0 và x + 2y=3

 

[eye_smile]

[TEX]a) a^2 + \frac{1}{a^2 + 1} \geq 1[/TEX]

[TEX]b) x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2} \geq 2xy[/TEX]

[TEX]c) (a^2 + b^2)c + (b^2 + c^2)a + (a^2 +c^2)b \geq 6abc [/TEX] (a,b,c >0)

[TEX]d)\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \geq \frac{2}{1 + ab} (a\geq b \geq 1)[/TEX]

[TEX]e)\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 3 [/TEX] với x,y >0 và x + 2y=3

a,${a^2} + \dfrac{1}{{{a^2} + 1}} \ge 1$
\Leftrightarrow ${a^2} + \dfrac{1}{{{a^2} + 1}} - 1 \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{{a^2}\left( {{a^2} + 1} \right) + 1 - {a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + 1}} \ge 0$ (luôn đúng)
Vậy: Với mọi x thì BĐT luôn đúng
b,*${x^2} + {y^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}$
\Leftrightarrow ${x^2} + {y^2} - \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{2{x^2} + 2{y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2}}}{2} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ (luôn đúng)
*$\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} \ge 2xy$
\Leftrightarrow $\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} - 2xy \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{{x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy}}{{\rm{2}}} \ge 0$
\Leftrightarrow $\dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ (luôn đúng)
\Rightarrow ${x^2} + {y^2} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} \ge 2xy$ đúng với mọi x
e,$\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} \ge 3$
\Leftrightarrow $\dfrac{{y + 2x}}{{xy}} \ge 3$
\Leftrightarrow $\dfrac{{2y + 4x}}{{xy}} \ge 6$
\Leftrightarrow $\dfrac{{2y + x + 3x}}{{xy}} \ge 6$
\Leftrightarrow $\dfrac{{3 + 3x}}{{xy}} \ge 6$
\Leftrightarrow $3\left( {x + 1} \right) \ge 6xy\left( {x > 0;y > 0} \right)$
\Leftrightarrow $x + 1 - 2xy \ge 0$
\Leftrightarrow $x + 1 - 2x.\dfrac{{3 - x}}{2} \ge 0$
\Leftrightarrow ${x^2} - 2x + 1 \ge 0$
\Leftrightarrow ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng)
p/s: Mình nghĩ đề bài phải đổi thành chứng minh

 

[thong7enghiaha]

Câu d) đã có giải tại Đây............................

 

[pe_lun_hp]

Phần c.
Thực ra đây lại là phần gần như là đơn giản nhất

đòi hỏi nhìn bài toán 1 cách khách quan, đừng nhìn phiến diện trên 1 khuôn khổ mà bài toán đã áp

)

Nhân tung:

$a^2b + b^2c + ab^2 + ac^2 + a^2b + c^2b ≥ 6abc$

Vì a,b,c >0. Áp dụng BDT cauchy cho từng cặp số:

$a^2b + b^2c ≥ 2abc$

$ab^2 + ac^2 ≥ 2abc$

$a^2b + c^2b ≥ 2abc$

cộng vế với vế của BDT đc đpcm )