[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Toán Giải bất đẳng thức bằng amgm
- Thread starter hieu030103
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 186
-
- Tags
- giải bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
- 20 Tháng chín 2013
- 5,018
- 7,484
- 941
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TPHCM
Ta có $$\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}} = \dfrac{bc}{\sqrt{a(a+b+c) + bc}} =\dfrac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$$
Áp dụng bđt AM-GM ta được
$$\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}} = bc \cdot \sqrt{\dfrac1{a+b} \cdot \dfrac1{a+c}} \leqslant \dfrac{bc}2 \cdot \left( \dfrac1{a+b} + \dfrac1{a+c} \right)$$
Tương tự :
$$\dfrac{ca}{\sqrt{b+ca}} \leqslant \dfrac{ca}2 \cdot \left( \dfrac1{b+c} +\dfrac1{b+a} \right) \\
\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}} \leqslant \dfrac{ab}2 \cdot \left( \dfrac1{c+a} + \dfrac1{c+b} \right)$$
Cộng lại ta được
$$VT_{đpcm} \leqslant \dfrac12 \left( \dfrac{bc + ca}{b+a} + \dfrac{ab + ca}{b+c} + \dfrac{bc+ab}{c+a} \right) = \dfrac12 (a+b+c) = \dfrac12$$
Ta được đpcm
Áp dụng bđt AM-GM ta được
$$\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}} = bc \cdot \sqrt{\dfrac1{a+b} \cdot \dfrac1{a+c}} \leqslant \dfrac{bc}2 \cdot \left( \dfrac1{a+b} + \dfrac1{a+c} \right)$$
Tương tự :
$$\dfrac{ca}{\sqrt{b+ca}} \leqslant \dfrac{ca}2 \cdot \left( \dfrac1{b+c} +\dfrac1{b+a} \right) \\
\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}} \leqslant \dfrac{ab}2 \cdot \left( \dfrac1{c+a} + \dfrac1{c+b} \right)$$
Cộng lại ta được
$$VT_{đpcm} \leqslant \dfrac12 \left( \dfrac{bc + ca}{b+a} + \dfrac{ab + ca}{b+c} + \dfrac{bc+ab}{c+a} \right) = \dfrac12 (a+b+c) = \dfrac12$$
Ta được đpcm