Giá trị nhỏ nhất

[naive_ichi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào mọi người. Mong mọi người giúp mình bài này với. Mình đọc đáp án mà không hiểu gì cả!
*****
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn $(x+y-1)^2=xy$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

 

[eye_smile]

Có:

$(x+y-1)^2=xy \le \dfrac{(x+y)^2}{4}$

\Leftrightarrow $\dfrac{2}{3} \le x+y \le 2$

\Rightarrow $xy \le 1$

Có: $P=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y} \ge \dfrac{4}{(x+y)^2}+2.\dfrac{1}{\sqrt{2xy(x+y)}} \ge \dfrac{4}{2^2}+2.\dfrac{1}{\sqrt{2.1.2}}=2$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=1