Trước hết chú ý là với các số thực dương $ \displaystyle a,b $ bất kỳ ta có kết quả quen thuộc sau
$$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \ge \frac{8}{\left( a+b\right)^2} \quad{( * )} $$
với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b $.
Chứng minh $ \displaystyle ( * )$
$$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{8}{\left( a+b\right)^2}=\frac{ \left( a^2+4ab+b^2\right) \left(a-b \right)^2}{a^2b^2 \left(a+b \right)^2} \ge 0$$
Trở lại với bài toán đề bài , có
$$ P=\frac{1}{\left( x+1 \right)^2}+\frac{4}{\left(y+2 \right)^2} +\frac{8}{\left( z+3 \right)^2}$$
Dùng kết quả $ \displaystyle ( * ) $
$$ \frac{1}{\left( x+1 \right)^2}+\frac{4}{\left(y+2 \right)^2}=\frac{1}{\left( x+1 \right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{y}{2}+1 \right)^2} \ge \frac{8}{ \left(x+\frac{y}{2}+2 \right)^2}$$
Tiếp tục
$$ \frac{8}{\left(x+\frac{y}{2}+2 \right)^2}+\frac{8}{\left( z+3 \right)^2} \ge \frac{64}{ \left(x+\frac{y}{2}+z+5 \right)^2}$$
Tổng kết lại có
$$ P \ge \frac{64}{\left(x+\frac{y}{2}+z+5 \right)^2} $$
Bây giờ từ điều kiện đề bài có
$$ 3y \ge x^2+y^2+z^2 =\left( x^2+1 \right) + \left( y^2+4 \right) + \left( z^2+1 \right)-6 \ge 2x+4y+2z-6 $$
Hay
$$ 6 \ge 2x+y+2z $$
Suy ra
$$ 3 \ge x+\frac{y}{2}+z $$
Suy ra
$$ 8 \ge x+\frac{y}{2}+z+5 $$
Suy ra
$$ 64 \ge \left(x+\frac{y}{2}+z+5 \right)^2 $$
Suy ra
$$ \frac{1}{64} \le \frac{1}{\left(x+\frac{y}{2}+z +5\right)^2 } $$
Vậy
$$P \ge \frac{64}{\left(x+\frac{y}{2}+z+5 \right)^2} \ge \frac{64}{64}=1 $$
Đẳng thức đạt được tại $ \displaystyle x=z=1 \ ; \ y=2 $.
Vậy
$$ \min \ P=1 $$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn