Toán 8 Giá trị lớn nhất

[Trinh Linh Mai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn [tex] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3[/tex]
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức [tex]A= \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}[/tex]
@Mộc Nhãn @kido2006

 

[kido2006]

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn [tex] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3[/tex]
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức [tex]A= \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}[/tex]

[tex]A=\sum \frac{1}{2x+y+z}=\sum \frac{1}{x+y+x+z}\leq \frac{1}{4}\sum (\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{16}\sum(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z})=\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{3}{4}[/tex]
Dấu = khi x=y=z=1

 

[_Error404_]

Áp dụng BĐT [tex]\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})[/tex] ta có:
[tex]\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4} (\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z})\leq \frac{1}{16} (\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})[/tex]
Tương tự với hai cái còn lại. Cộng lại ta được [tex]A\leq \frac{1}{16}.4.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})= \frac{3}{4}[/tex]
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1