Toán 12 Giá trị lớn nhất

[ankhang1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b > 0 thỏa \[{a^4} + {b^4} + \frac{1}{{ab}} = ab + 2\]. Tìm GTLN của biểu thức
\[P = \frac{2}{{1 + {a^2}}} + \frac{2}{{1 + {b^2}}} - \frac{3}{{1 + 2ab}}\]

 

[vuive_yeudoi]

Đặt $ \displaystyle t=ab >0 $.

Từ điều kiện đề bài , dùng AM-GM ta có
$$ t+2 =a^4+b^4+\frac{1}{t} \ge 2t^2+\frac{1}{t}$$
Từ đó suy ra
$$ t+2-\left(2t^2+\frac{1}{t} \right) =-\frac{\left( t-1\right) \left(2t-1 \right) \left( t+1\right)}{t} \ge 0 $$
Suy ra $ \displaystyle 1 \ge t=ab \ge \frac{1}{2} $.

Xét
$$ \frac{2}{1+ab} - \left( \frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1} \right)= \frac{ \left( 1-ab \right) \left(a-b \right)^2}{\left( 1+ab \right) \left( 1+a^2 \right) \left( 1+b^2 \right) } \ge 0$$
Như vậy
$$ P \le \frac{4}{1+t}-\frac{3}{1+2t}= \frac{7}{6}-\frac{ \left(7t-1 \right) \left(2t-1 \right)}{6 \left( t+1 \right) \left( 1+2t \right)} \le \frac{7}{6}$$
Tại $ \displaystyle a=b=\frac{1}{\sqrt{2}} $ thỏa điều kiện đề bài và tại đó $ \displaystyle P=\frac{7}{6} $.

Vậy
$$ \max \ P=\frac{7}{6} $$